Среднее геометрическое k чисел вычисляется по формуле .
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 36?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
Необходимо представить целую степень искомого среднего произведением различных двузначных чисел.
а) , поэтому ответ «да».
б) Четыре различных двузначных числа имеют произведение . Проверка меньших целых g посредством делителей из промежутка 10–99 показывает, что представлений четырьмя различными множителями нет; минимум 20.
в) Шесть различных чисел имеют произведение . Для перебор шести упорядоченных двузначных делителей не даёт нужного произведения. Минимум 30.
Необходимо представить целую степень искомого среднего произведением различных двузначных чисел.
а) , поэтому ответ «да».
б) Четыре различных двузначных числа имеют произведение . Проверка меньших целых g посредством делителей из промежутка 10–99 показывает, что представлений четырьмя различными множителями нет; минимум 20.
в) Шесть различных чисел имеют произведение . Для перебор шести упорядоченных двузначных делителей не даёт нужного произведения. Минимум 30.
Среднее геометрическое k чисел вычисляется по формуле .
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
По определению нужно, чтобы произведение выбранных чисел было точной k-й степенью.
а) ; числа различны и двузначны, поэтому ответ «да».
б) Для целого среднего g трёх чисел перебираем делители в пределах 10–99, учитывая строгое возрастание тройки. При тройки нет, а . Значит, минимум 18.
в) Верхняя оценка по шести наибольшим двузначным числам даёт . Перебор для каждого шести строго возрастающих двузначных делителей числа не даёт произведения . Для 60 подходит набор : его произведение равно . Максимум — 60.
По определению нужно, чтобы произведение выбранных чисел было точной k-й степенью.
а) ; числа различны и двузначны, поэтому ответ «да».
б) Для целого среднего g трёх чисел перебираем делители в пределах 10–99, учитывая строгое возрастание тройки. При тройки нет, а . Значит, минимум 18.
в) Верхняя оценка по шести наибольшим двузначным числам даёт . Перебор для каждого шести строго возрастающих двузначных делителей числа не даёт произведения . Для 60 подходит набор : его произведение равно . Максимум — 60.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 15?
б) Может ли k быть равно 28?
в) Найдите все числа A, для которых k ≥ 30.
Для число делителей равно .
а) имеет делителей: да.
б) имеет делителей: да.
в) Пять разных простых невозможны: . Для четырёх простых минимальный набор с 30 или более делителями — , дающий и 32 делителя. Для трёх простых единственный допустимый набор — , дающий и 30 делителей; перестановки больших показателей либо увеличение любого из них уже выводят число за 999. Для одного и двух простых минимальные числа с 30 делителями превышают 999. Итак, 720 и 840.
Для число делителей равно .
а) имеет делителей: да.
б) имеет делителей: да.
в) Пять разных простых невозможны: . Для четырёх простых минимальный набор с 30 или более делителями — , дающий и 32 делителя. Для трёх простых единственный допустимый набор — , дающий и 30 делителей; перестановки больших показателей либо увеличение любого из них уже выводят число за 999. Для одного и двух простых минимальные числа с 30 делителями превышают 999. Итак, 720 и 840.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 7?
б) Может ли k быть равно 25?
в) Найдите наибольшее k.
Если — разложение на простые множители, то число делителей .
а) — трёхзначное число с 7 делителями: ответ «да».
б) Чтобы иметь 25 делителей, число должно быть вида или . Минимальное второе число ; первое ещё больше. Ответ «нет».
в) Число имеет делителя. Пять различных простых потребовали бы как минимум . С четырьмя простыми показательную схему, дающую больше 32, нельзя реализовать ниже 1000: уже схема даёт минимум . Для трёх простых ближайшая схема с более чем 32 делителями требует не менее ; для одного или двух простых проверка даёт ещё большие минимальные числа. Следовательно, максимум 32.
Если — разложение на простые множители, то число делителей .
а) — трёхзначное число с 7 делителями: ответ «да».
б) Чтобы иметь 25 делителей, число должно быть вида или . Минимальное второе число ; первое ещё больше. Ответ «нет».
в) Число имеет делителя. Пять различных простых потребовали бы как минимум . С четырьмя простыми показательную схему, дающую больше 32, нельзя реализовать ниже 1000: уже схема даёт минимум . Для трёх простых ближайшая схема с более чем 32 делителями требует не менее ; для одного или двух простых проверка даёт ещё большие минимальные числа. Следовательно, максимум 32.
В классе больше 10, но не больше 27 учащихся, а доля девочек не превышает 26 %.
а) Может ли в этом классе быть 6 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Пусть до прихода новой ученицы в классе учащихся и девочек. Имеем , .
а) При доля равна 25 %, поэтому ответ «да».
б) Равенство даёт и вместе с влечёт . Из делимости следует ; при возможные g не дают целого n, ответ «нет».
в) Пример после прихода девочки даёт . Для любого допустимого n доля после прихода меньше 33 %. Если она — целое число от 29 до 32 %, то из и остаются лишь возможности или ; обе нарушают исходный предел 26 %. Следовательно, максимум 28 %.
Пусть до прихода новой ученицы в классе учащихся и девочек. Имеем , .
а) При доля равна 25 %, поэтому ответ «да».
б) Равенство даёт и вместе с влечёт . Из делимости следует ; при возможные g не дают целого n, ответ «нет».
в) Пример после прихода девочки даёт . Для любого допустимого n доля после прихода меньше 33 %. Если она — целое число от 29 до 32 %, то из и остаются лишь возможности или ; обе нарушают исходный предел 26 %. Следовательно, максимум 28 %.
В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.
а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
а) Да. Например, если в классе 20 учащихся и 4 девочки, то доля девочек равна , что не превышает 22 %.
б) Если после прихода новой девочки доля стала 30 %, общее число учащихся должно делиться на 10. В допустимом диапазоне это 20 учащихся, из них 6 девочек. До прихода ученицы было 19 учащихся и 5 девочек, то есть . Это противоречит условию, поэтому ответ отрицательный.
в) Пусть до прихода ученицы было учащихся и девочек: и . Проверяем возможные целые проценты . Значение 28 % приводит к , , но тогда . Значение 25 % достигается при , и исходная доля равна 20 %. Поэтому наибольшее возможное целое значение — 25 %.
а) Да. Например, если в классе 20 учащихся и 4 девочки, то доля девочек равна , что не превышает 22 %.
б) Если после прихода новой девочки доля стала 30 %, общее число учащихся должно делиться на 10. В допустимом диапазоне это 20 учащихся, из них 6 девочек. До прихода ученицы было 19 учащихся и 5 девочек, то есть . Это противоречит условию, поэтому ответ отрицательный.
в) Пусть до прихода ученицы было учащихся и девочек: и . Проверяем возможные целые проценты . Значение 28 % приводит к , , но тогда . Значение 25 % достигается при , и исходная доля равна 20 %. Поэтому наибольшее возможное целое значение — 25 %.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
Есть три коробки: в первой — 97 камней; во второй — 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй — 59, а в третьей — 60?
б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну?
в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 64?
б) Может ли n равняться 78?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём , где q кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий стали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа. Из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 — уже нет?
в) Найдите все такие числа n, что фабрика может выпускать n новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия .
Пусть новая масса t, из 18 кг получается j деталей. Тогда и . Пересечение непусто только при , поэтому для 50 и 32 ответ «нет». Допустимые массы удовлетворяют , откуда . Все пять значений достигаются, например при массах 0,485; 0,47; 0,45; 0,43; 0,41 кг соответственно. Эти массы удовлетворяют исходному условию о разности количеств деталей.
Пусть новая масса t, из 18 кг получается j деталей. Тогда и . Пересечение непусто только при , поэтому для 50 и 32 ответ «нет». Допустимые массы удовлетворяют , откуда . Все пять значений достигаются, например при массах 0,485; 0,47; 0,45; 0,43; 0,41 кг соответственно. Эти массы удовлетворяют исходному условию о разности количеств деталей.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём , где q кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий стали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа. Из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?
в) Найдите минимальное число n такое, что фабрика может выпускать n новых деталей из 80 кг материала, а n − 1 деталь не сможет, не нарушая условия .
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
Есть три коробки: в первой 95 камней, во второй — 104, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могли ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Есть три коробки: в первой 112 камней, во второй — 99, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?
б) Могли ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).
Дано четырёхзначное число , где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём .
а) Может ли произведение быть больше суммы в 5 раз?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел таких, что ?
в) Известно, что , где k — двузначное число. При каком наибольшем значении число k будет наибольшим?
а) Для 2235 произведение 60, сумма 12. б) Подходят все числа с четырьмя различными ненулевыми цифрами: . в) Перебор цифр с условием целого двузначного k даёт максимум 96; наибольшее число при нём 9885: .
а) Для 2235 произведение 60, сумма 12. б) Подходят все числа с четырьмя различными ненулевыми цифрами: . в) Перебор цифр с условием целого двузначного k даёт максимум 96; наибольшее число при нём 9885: .
Дано четырёхзначное число , где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём .
а) Может ли произведение быть больше суммы в 3 раза?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел таких, что ?
в) Известно, что , где k — двузначное число. При каком наименьшем значении число k будет наибольшим?
а) Для 1236 произведение 36 и сумма 12. б) При четырёх различных ненулевых цифрах произведение больше суммы; поэтому среди цифр должен быть ноль. Число вариантов . в) Перебор цифр , с условием целого двузначного k даёт максимум ; наименьшее число при нём 5889: .
а) Для 1236 произведение 36 и сумма 12. б) При четырёх различных ненулевых цифрах произведение больше суммы; поэтому среди цифр должен быть ноль. Число вариантов . в) Перебор цифр , с условием целого двузначного k даёт максимум ; наименьшее число при нём 5889: .
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Доля первого набора . а) при . б) Для 135 нужно — не натуральное число. в) Среднее меняется на , поэтому k кратно 19. При увеличении первого набора : 152, 159, 166, 173. При уменьшении первого : 138, 131, 124, 117, 110, 103, 96, 89, 82.
Доля первого набора . а) при . б) Для 135 нужно — не натуральное число. в) Среднее меняется на , поэтому k кратно 19. При увеличении первого набора : 152, 159, 166, 173. При уменьшении первого : 138, 131, 124, 117, 110, 103, 96, 89, 82.
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Доля чисел первого набора равна . а) Новое среднее равно ; для 71 подходит . б) Для 70 потребовалось бы , что не является натуральным числом. в) Новое среднее равно . Для целого среднего k кратно 25. При увеличении первого набора , получаем 67; при уменьшении первого , получаем 89, 100, 111, 122, 133.
Доля чисел первого набора равна . а) Новое среднее равно ; для 71 подходит . б) Для 70 потребовалось бы , что не является натуральным числом. в) Новое среднее равно . Для целого среднего k кратно 25. При увеличении первого набора , получаем 67; при уменьшении первого , получаем 89, 100, 111, 122, 133.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Однозначное число заменяется на , а двузначное — на .
а) Исходный набор {1, 11, 17} имеет сумму 29; полученный {11, 1, 4} — сумму 16. Разность равна 13, ответ «да».
б) Набор {33, 7} имеет сумму 40, после преобразования {3, 77} — сумму 80. Первая сумма вдвое меньше, ответ «да».
в) Сопоставим однозначные и двузначные числа попарно. Для любой пары справедливо так как это равносильно : слева не более 513, справа не менее 513. Поэтому отношение сумм не больше . Равенство достигается на наборе {1, 91}: суммы равны 92 и 16.
Однозначное число заменяется на , а двузначное — на .
а) Исходный набор {1, 11, 17} имеет сумму 29; полученный {11, 1, 4} — сумму 16. Разность равна 13, ответ «да».
б) Набор {33, 7} имеет сумму 40, после преобразования {3, 77} — сумму 80. Первая сумма вдвое меньше, ответ «да».
в) Сопоставим однозначные и двузначные числа попарно. Для любой пары справедливо так как это равносильно : слева не более 513, справа не менее 513. Поэтому отношение сумм не больше . Равенство достигается на наборе {1, 91}: суммы равны 92 и 16.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Однозначное число превращается в , а двузначное — в .
а) Например, исходный набор {5, 15, 37} имеет сумму 57, а полученный {55, 3, 5} — сумму 63. Разность равна 6, ответ «да».
б) Набор {3, 71} имеет сумму 74; после преобразования получаем {33, 4} с суммой 37. Первая сумма вдвое больше, ответ «да».
в) Однозначных и двузначных чисел поровну, поэтому произвольно сопоставим их попарно. Для каждой пары и выполняется , поскольку это равносильно : слева не более 108, справа не менее 108. Суммирование даёт отношение не больше 5. Равенство достигается на исходном наборе {9, 11}: сумма 20 превращается в 100. Максимум 5.
Однозначное число превращается в , а двузначное — в .
а) Например, исходный набор {5, 15, 37} имеет сумму 57, а полученный {55, 3, 5} — сумму 63. Разность равна 6, ответ «да».
б) Набор {3, 71} имеет сумму 74; после преобразования получаем {33, 4} с суммой 37. Первая сумма вдвое больше, ответ «да».
в) Однозначных и двузначных чисел поровну, поэтому произвольно сопоставим их попарно. Для каждой пары и выполняется , поскольку это равносильно : слева не более 108, справа не менее 108. Суммирование даёт отношение не больше 5. Равенство достигается на исходном наборе {9, 11}: сумма 20 превращается в 100. Максимум 5.
Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами так, что . Найдите наименьшее такое число , что и .
Общая масса камней тонн.
а) При равенстве трёх групп каждая должна иметь массу 183 тонны. Так как четырёх 100-тонных камней больше, чем групп, хотя бы в одной группе их было бы два, а её масса уже не меньше 200 тонн. Равенство невозможно.
б) Требуемые массы равны 133, 183 и 233 тонны для второй, первой и третьей групп соответственно. Раскладка: 133 = 100+25+2·4; 183 = 100+3·25+2·4; 233 = 2·100+25+2·4. Все камни использованы, ответ «да».
в) Если обе соседние разности не превосходят 16, то при общей массе 549 наибольшая группа имеет массу не более тонн. Но из четырёх 100-тонных камней хотя бы два окажутся в одной группе, масса которой не меньше 200 тонн. Поэтому . Раскладка 200 = 2·100, 183 = 100+3·25+2·4, 166 = 100+2·25+4·4 использует все камни и имеет соседние разности 17. Значит минимум равен 17.
Общая масса камней тонн.
а) При равенстве трёх групп каждая должна иметь массу 183 тонны. Так как четырёх 100-тонных камней больше, чем групп, хотя бы в одной группе их было бы два, а её масса уже не меньше 200 тонн. Равенство невозможно.
б) Требуемые массы равны 133, 183 и 233 тонны для второй, первой и третьей групп соответственно. Раскладка: 133 = 100+25+2·4; 183 = 100+3·25+2·4; 233 = 2·100+25+2·4. Все камни использованы, ответ «да».
в) Если обе соседние разности не превосходят 16, то при общей массе 549 наибольшая группа имеет массу не более тонн. Но из четырёх 100-тонных камней хотя бы два окажутся в одной группе, масса которой не меньше 200 тонн. Поэтому . Раскладка 200 = 2·100, 183 = 100+3·25+2·4, 166 = 100+2·25+4·4 использует все камни и имеет соседние разности 17. Значит минимум равен 17.
Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20 тонн, и 4 камня, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 12 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 12 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами так, что . Найдите наименьшее такое число , что и .
Общая масса камней тонн.
а) При массах групп 112, 100 и 124 тонны первая на 12 тонн тяжелее второй и на 12 тонн легче третьей. Это достигается раскладкой: первая группа — пять 20-тонных и три 4-тонных камня; вторая — один 100-тонный камень; третья — один 100-тонный, один 20-тонный и один 4-тонный. Ответ «да».
б) При равных массах каждая группа должна весить 112 тонн. Два 100-тонных камня обязаны оказаться в разных группах; каждому для 112 тонн нужны ещё три 4-тонных камня. Всего таких камней только четыре, поэтому ответ «нет».
в) Все массы кратны 4. Если разности соседних групп могут быть только 0 или 4. При общей массе 336 возможны лишь тройки масс или . Первая невозможна по пункту б). Во второй два 100-тонных камня должны быть в разных группах; уже для наименьших возможных пар масс 108 и 112 потребовалось бы четырёхтонных камней, а есть четыре. Значит . Раскладка масс существует: шесть 20-тонных; один 100-тонный и три 4-тонных; один 100-тонный и один 4-тонный. Здесь обе разности равны 8, значит минимум 8.
Общая масса камней тонн.
а) При массах групп 112, 100 и 124 тонны первая на 12 тонн тяжелее второй и на 12 тонн легче третьей. Это достигается раскладкой: первая группа — пять 20-тонных и три 4-тонных камня; вторая — один 100-тонный камень; третья — один 100-тонный, один 20-тонный и один 4-тонный. Ответ «да».
б) При равных массах каждая группа должна весить 112 тонн. Два 100-тонных камня обязаны оказаться в разных группах; каждому для 112 тонн нужны ещё три 4-тонных камня. Всего таких камней только четыре, поэтому ответ «нет».
в) Все массы кратны 4. Если разности соседних групп могут быть только 0 или 4. При общей массе 336 возможны лишь тройки масс или . Первая невозможна по пункту б). Во второй два 100-тонных камня должны быть в разных группах; уже для наименьших возможных пар масс 108 и 112 потребовалось бы четырёхтонных камней, а есть четыре. Значит . Раскладка масс существует: шесть 20-тонных; один 100-тонный и три 4-тонных; один 100-тонный и один 4-тонный. Здесь обе разности равны 8, значит минимум 8.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает первых, вторых и третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно , а у спортсмена-2 — , то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
— ,
— и ,
— , и .
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше . Найдите наибольшее возможное значение .
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.
Всего за год набирается очков.
а) Пример по этапам в формате (первое, второе, третье место) для спортсменов 1–10: . Спортсмен 1 не был первым ни разу, но восемь раз был вторым и набрал 32 очка — это единственный наивысший результат. Спортсмен 5 набрал 10 очков — единственный наименьший результат. По прошлогоднему лексикографическому правилу у спортсмена 1 единственный наименьший рейтинг, поскольку все остальные хотя бы раз были первыми. Значит ответ «да».
б) Если 10 различных целых сумм очков упорядочены и их попарные расстояния не меньше p, их сумма не меньше . Поскольку сумма равна 150, . Значение 3 достигается: за 10 этапов распределим места так: . Очки спортсменов 1–10 будут ; все расстояния не меньше 3.
в) Пусть пять меньших результатов дают в сумме B. Тогда разность средних верхней и нижней пятёрок равна . Если пятый по возрастанию результат не меньше 15, а остальные пять различных результатов — не меньше 16, 17, 18, 19, 20. Их сумма не меньше 90; общая сумма оказалась бы не меньше 151, что невозможно. Значит и разность средних не меньше 6. Равенство достижимо: этапы дают результаты . У нижней пятёрки сумма 60, а разность средних равна 6.
Всего за год набирается очков.
а) Пример по этапам в формате (первое, второе, третье место) для спортсменов 1–10: . Спортсмен 1 не был первым ни разу, но восемь раз был вторым и набрал 32 очка — это единственный наивысший результат. Спортсмен 5 набрал 10 очков — единственный наименьший результат. По прошлогоднему лексикографическому правилу у спортсмена 1 единственный наименьший рейтинг, поскольку все остальные хотя бы раз были первыми. Значит ответ «да».
б) Если 10 различных целых сумм очков упорядочены и их попарные расстояния не меньше p, их сумма не меньше . Поскольку сумма равна 150, . Значение 3 достигается: за 10 этапов распределим места так: . Очки спортсменов 1–10 будут ; все расстояния не меньше 3.
в) Пусть пять меньших результатов дают в сумме B. Тогда разность средних верхней и нижней пятёрок равна . Если пятый по возрастанию результат не меньше 15, а остальные пять различных результатов — не меньше 16, 17, 18, 19, 20. Их сумма не меньше 90; общая сумма оказалась бы не меньше 151, что невозможно. Значит и разность средних не меньше 6. Равенство достижимо: этапы дают результаты . У нижней пятёрки сумма 60, а разность средних равна 6.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает первых, вторых и третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно , а у спортсмена-2 — , то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
— ,
— и ,
— , и .
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения и такие, что . Найдите все пары , при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла .
Суммарно за 10 этапов набирают очков. Обозначим спортсменов числами 1–10. Один достижимый набор результатов по спортсменам 1–10: . Его можно получить за 10 этапов, назначив победителя, второго и третьего соответственно так: . Очки спортсменов по номерам: . Все различны и располагаются в том же порядке, что и тройки мест при лексикографическом сравнении. Поэтому а) да.
б) В этом примере две наименьшие суммы — 0 и 12, разность равна 12. Если разность была бы хотя бы 13, при наименьшем результате остальные девять различных результатов не меньше . Их общая сумма с m не меньше — противоречие. Значит максимум равен 12.
в) При новых коэффициентах суммарное число очков . Число спортсменов с ненулевым результатом может быть любым целым . Поэтому целое среднее получается ровно для делителей N из этого диапазона. Перебор возможных сумм показывает наибольшее количество таких делителей — шесть — только при или . При подходят пары ; при — .
Суммарно за 10 этапов набирают очков. Обозначим спортсменов числами 1–10. Один достижимый набор результатов по спортсменам 1–10: . Его можно получить за 10 этапов, назначив победителя, второго и третьего соответственно так: . Очки спортсменов по номерам: . Все различны и располагаются в том же порядке, что и тройки мест при лексикографическом сравнении. Поэтому а) да.
б) В этом примере две наименьшие суммы — 0 и 12, разность равна 12. Если разность была бы хотя бы 13, при наименьшем результате остальные девять различных результатов не меньше . Их общая сумма с m не меньше — противоречие. Значит максимум равен 12.
в) При новых коэффициентах суммарное число очков . Число спортсменов с ненулевым результатом может быть любым целым . Поэтому целое среднее получается ровно для делителей N из этого диапазона. Перебор возможных сумм показывает наибольшее количество таких делителей — шесть — только при или . При подходят пары ; при — .
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках — только синяя и красная отметки, на k карточках только красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
Обозначим через S₁₂, S₁₅, S₂₀ классы чисел, кратных соответственно 12, 15, 20, но не 60, а через T — кратные 60. Первые три класса имеют ровно две отметки; T имеет три.
а) Среди чисел меньше 200 кратных 12 — 16, 15 — 13, 20 — 9, а кратных 60 — 3. По формуле включений и исключений допустимых чисел . Можно взять все 32 и дополнить набор числами побольше.
б) Пусть в каждом из трёх двухцветных классов по k чисел, а трёхцветных — t. Тогда . Если то и 19-е число в S₂₀ равно 560, поэтому максимум не меньше 560. Если то девятое кратное 60 равно 540. При первые 18 чисел каждого двухцветного класса и первые шесть чисел T имеют максимум 520. Следовательно, минимум 520.
в) Синяя отметка при ровно двух отметках означает принадлежность S₁₂ или S₂₀. До 371 включительно таких чисел 36, а остальные допустимые числа можно дополнить лишь до 60 карточек; 37 синесодержащих двухцветных чисел здесь невозможны. Число 372 — 37-е в объединении S₁₂ и S₂₀; кроме них до 372 есть как минимум 23 числа из S₁₅ и T. Поэтому минимум максимума 372.
Обозначим через S₁₂, S₁₅, S₂₀ классы чисел, кратных соответственно 12, 15, 20, но не 60, а через T — кратные 60. Первые три класса имеют ровно две отметки; T имеет три.
а) Среди чисел меньше 200 кратных 12 — 16, 15 — 13, 20 — 9, а кратных 60 — 3. По формуле включений и исключений допустимых чисел . Можно взять все 32 и дополнить набор числами побольше.
б) Пусть в каждом из трёх двухцветных классов по k чисел, а трёхцветных — t. Тогда . Если то и 19-е число в S₂₀ равно 560, поэтому максимум не меньше 560. Если то девятое кратное 60 равно 540. При первые 18 чисел каждого двухцветного класса и первые шесть чисел T имеют максимум 520. Следовательно, минимум 520.
в) Синяя отметка при ровно двух отметках означает принадлежность S₁₂ или S₂₀. До 371 включительно таких чисел 36, а остальные допустимые числа можно дополнить лишь до 60 карточек; 37 синесодержащих двухцветных чисел здесь невозможны. Число 372 — 37-е в объединении S₁₂ и S₂₀; кроме них до 372 есть как минимум 23 числа из S₁₅ и T. Поэтому минимум максимума 372.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
Отметки соответствуют делимости ровно двумя из чисел 3, 4, 5. Получаются три непересекающихся класса: красная+синяя — кратные 12, но не 5; красная+зелёная — кратные 15, но не 4; синяя+зелёная — кратные 20, но не 3.
а) Среди чисел от 2 до 199 кратных 12 ровно 16, из них кратных 60 — 3; кратных 15 — 13, из них кратных 60 — 3; кратных 20 — 9, из них кратных 60 — 3. Итого допустимых чисел меньше 200. Их все можно включить в 60 карточек.
б) Двадцатые наименьшие числа в трёх классах соответственно 288, 390 и 580. Нельзя взять по 20 из каждого класса при максимуме меньше 580, а первые 20 каждого класса дают максимум 580.
в) Синяя отметка стоит у чисел из первого и третьего классов. 45-е по величине число в их объединении — 444; среди чисел без синей отметки 15-е — 285. Значит нижняя граница максимума равна и достигается выбором этих наименьших чисел.
Отметки соответствуют делимости ровно двумя из чисел 3, 4, 5. Получаются три непересекающихся класса: красная+синяя — кратные 12, но не 5; красная+зелёная — кратные 15, но не 4; синяя+зелёная — кратные 20, но не 3.
а) Среди чисел от 2 до 199 кратных 12 ровно 16, из них кратных 60 — 3; кратных 15 — 13, из них кратных 60 — 3; кратных 20 — 9, из них кратных 60 — 3. Итого допустимых чисел меньше 200. Их все можно включить в 60 карточек.
б) Двадцатые наименьшие числа в трёх классах соответственно 288, 390 и 580. Нельзя взять по 20 из каждого класса при максимуме меньше 580, а первые 20 каждого класса дают максимум 580.
в) Синяя отметка стоит у чисел из первого и третьего классов. 45-е по величине число в их объединении — 444; среди чисел без синей отметки 15-е — 285. Значит нижняя граница максимума равна и достигается выбором этих наименьших чисел.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−35»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?
а) Да: 27 раз выпадает 2, 18 раз — 3. Тогда сделано 45 бросков, а смещение .
б) Пусть чётных и нечётных бросков по . Один чётный и один нечётный результат дают смещение не меньше −3, поэтому . Смещение пары нечётно, следовательно для нечётного итога −35 число пар k тоже нечётно; минимум . Двенадцать пар (2,5) и одна пара (6,5) дают , всего 26 бросков.
в) Пусть — число выпадений грани j, а чётных и нечётных бросков по . Смещение равно . Четыре указанных количества — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Для смещения −40 нужно . Равенство достигается при : чётных и нечётных исходов по 22, все шесть количеств положительны и попарно различны, а смещение равно −40. Следовательно, минимум — 44 броска.
а) Да: 27 раз выпадает 2, 18 раз — 3. Тогда сделано 45 бросков, а смещение .
б) Пусть чётных и нечётных бросков по . Один чётный и один нечётный результат дают смещение не меньше −3, поэтому . Смещение пары нечётно, следовательно для нечётного итога −35 число пар k тоже нечётно; минимум . Двенадцать пар (2,5) и одна пара (6,5) дают , всего 26 бросков.
в) Пусть — число выпадений грани j, а чётных и нечётных бросков по . Смещение равно . Четыре указанных количества — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Для смещения −40 нужно . Равенство достигается при : чётных и нечётных исходов по 22, все шесть количеств положительны и попарно различны, а смещение равно −40. Следовательно, минимум — 44 броска.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «−50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?
а) Да. Например, 20 раз может выпасть грань 1 и 10 раз грань 3. Тогда смещение равно .
б) Пусть чётные и нечётные результаты выпали по раз. Максимальное смещение влево за одну пару бросков равно , поэтому . Кроме того, итоговое смещение и имеют одинаковую чётность, значит должно быть чётным. Минимально , то есть 36 бросков. Пример: семнадцать раз выпадает 5, один раз 1 и восемнадцать раз 2; смещение .
в) В печатной таблице ответов указан результат 58. Однако проверка условия даёт контрпример уже для 54 бросков: количества выпадений граней 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны соответственно 1, 21, 3, 4, 23, 2. Все шесть чисел положительны и попарно различны, чётных и нечётных исходов по 27, а смещение равно . Следовательно, значение 58 в источнике требует редакционной проверки; математически достижимо 54.
Для доказательства минимальности в пункте (в) обозначим через число выпадений грани , а через — число чётных (оно равно числу нечётных) исходов. Смещение равно . Четыре количества в добавке — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Из смещения −55 следует , то есть . Приведённый пример с достигает границы: минимально 54 броска.
а) Да. Например, 20 раз может выпасть грань 1 и 10 раз грань 3. Тогда смещение равно .
б) Пусть чётные и нечётные результаты выпали по раз. Максимальное смещение влево за одну пару бросков равно , поэтому . Кроме того, итоговое смещение и имеют одинаковую чётность, значит должно быть чётным. Минимально , то есть 36 бросков. Пример: семнадцать раз выпадает 5, один раз 1 и восемнадцать раз 2; смещение .
в) В печатной таблице ответов указан результат 58. Однако проверка условия даёт контрпример уже для 54 бросков: количества выпадений граней 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны соответственно 1, 21, 3, 4, 23, 2. Все шесть чисел положительны и попарно различны, чётных и нечётных исходов по 27, а смещение равно . Следовательно, значение 58 в источнике требует редакционной проверки; математически достижимо 54.
Для доказательства минимальности в пункте (в) обозначим через число выпадений грани , а через — число чётных (оно равно числу нечётных) исходов. Смещение равно . Четыре количества в добавке — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Из смещения −55 следует , то есть . Приведённый пример с достигает границы: минимально 54 броска.