Среднее геометрическое k чисел вычисляется по формуле .
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 36?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
Необходимо представить целую степень искомого среднего произведением различных двузначных чисел.
а) , поэтому ответ «да».
б) Четыре различных двузначных числа имеют произведение . Проверка меньших целых g посредством делителей из промежутка 10–99 показывает, что представлений четырьмя различными множителями нет; минимум 20.
в) Шесть различных чисел имеют произведение . Для перебор шести упорядоченных двузначных делителей не даёт нужного произведения. Минимум 30.
Необходимо представить целую степень искомого среднего произведением различных двузначных чисел.
а) , поэтому ответ «да».
б) Четыре различных двузначных числа имеют произведение . Проверка меньших целых g посредством делителей из промежутка 10–99 показывает, что представлений четырьмя различными множителями нет; минимум 20.
в) Шесть различных чисел имеют произведение . Для перебор шести упорядоченных двузначных делителей не даёт нужного произведения. Минимум 30.
Среднее геометрическое k чисел вычисляется по формуле .
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
По определению нужно, чтобы произведение выбранных чисел было точной k-й степенью.
а) ; числа различны и двузначны, поэтому ответ «да».
б) Для целого среднего g трёх чисел перебираем делители в пределах 10–99, учитывая строгое возрастание тройки. При тройки нет, а . Значит, минимум 18.
в) Верхняя оценка по шести наибольшим двузначным числам даёт . Перебор для каждого шести строго возрастающих двузначных делителей числа не даёт произведения . Для 60 подходит набор : его произведение равно . Максимум — 60.
По определению нужно, чтобы произведение выбранных чисел было точной k-й степенью.
а) ; числа различны и двузначны, поэтому ответ «да».
б) Для целого среднего g трёх чисел перебираем делители в пределах 10–99, учитывая строгое возрастание тройки. При тройки нет, а . Значит, минимум 18.
в) Верхняя оценка по шести наибольшим двузначным числам даёт . Перебор для каждого шести строго возрастающих двузначных делителей числа не даёт произведения . Для 60 подходит набор : его произведение равно . Максимум — 60.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 15?
б) Может ли k быть равно 28?
в) Найдите все числа A, для которых k ≥ 30.
Для число делителей равно .
а) имеет делителей: да.
б) имеет делителей: да.
в) Пять разных простых невозможны: . Для четырёх простых минимальный набор с 30 или более делителями — , дающий и 32 делителя. Для трёх простых единственный допустимый набор — , дающий и 30 делителей; перестановки больших показателей либо увеличение любого из них уже выводят число за 999. Для одного и двух простых минимальные числа с 30 делителями превышают 999. Итак, 720 и 840.
Для число делителей равно .
а) имеет делителей: да.
б) имеет делителей: да.
в) Пять разных простых невозможны: . Для четырёх простых минимальный набор с 30 или более делителями — , дающий и 32 делителя. Для трёх простых единственный допустимый набор — , дающий и 30 делителей; перестановки больших показателей либо увеличение любого из них уже выводят число за 999. Для одного и двух простых минимальные числа с 30 делителями превышают 999. Итак, 720 и 840.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 7?
б) Может ли k быть равно 25?
в) Найдите наибольшее k.
Если — разложение на простые множители, то число делителей .
а) — трёхзначное число с 7 делителями: ответ «да».
б) Чтобы иметь 25 делителей, число должно быть вида или . Минимальное второе число ; первое ещё больше. Ответ «нет».
в) Число имеет делителя. Пять различных простых потребовали бы как минимум . С четырьмя простыми показательную схему, дающую больше 32, нельзя реализовать ниже 1000: уже схема даёт минимум . Для трёх простых ближайшая схема с более чем 32 делителями требует не менее ; для одного или двух простых проверка даёт ещё большие минимальные числа. Следовательно, максимум 32.
Если — разложение на простые множители, то число делителей .
а) — трёхзначное число с 7 делителями: ответ «да».
б) Чтобы иметь 25 делителей, число должно быть вида или . Минимальное второе число ; первое ещё больше. Ответ «нет».
в) Число имеет делителя. Пять различных простых потребовали бы как минимум . С четырьмя простыми показательную схему, дающую больше 32, нельзя реализовать ниже 1000: уже схема даёт минимум . Для трёх простых ближайшая схема с более чем 32 делителями требует не менее ; для одного или двух простых проверка даёт ещё большие минимальные числа. Следовательно, максимум 32.
В классе больше 10, но не больше 27 учащихся, а доля девочек не превышает 26 %.
а) Может ли в этом классе быть 6 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Пусть до прихода новой ученицы в классе учащихся и девочек. Имеем , .
а) При доля равна 25 %, поэтому ответ «да».
б) Равенство даёт и вместе с влечёт . Из делимости следует ; при возможные g не дают целого n, ответ «нет».
в) Пример после прихода девочки даёт . Для любого допустимого n доля после прихода меньше 33 %. Если она — целое число от 29 до 32 %, то из и остаются лишь возможности или ; обе нарушают исходный предел 26 %. Следовательно, максимум 28 %.
Пусть до прихода новой ученицы в классе учащихся и девочек. Имеем , .
а) При доля равна 25 %, поэтому ответ «да».
б) Равенство даёт и вместе с влечёт . Из делимости следует ; при возможные g не дают целого n, ответ «нет».
в) Пример после прихода девочки даёт . Для любого допустимого n доля после прихода меньше 33 %. Если она — целое число от 29 до 32 %, то из и остаются лишь возможности или ; обе нарушают исходный предел 26 %. Следовательно, максимум 28 %.
В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.
а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
а) Да. Например, если в классе 20 учащихся и 4 девочки, то доля девочек равна , что не превышает 22 %.
б) Если после прихода новой девочки доля стала 30 %, общее число учащихся должно делиться на 10. В допустимом диапазоне это 20 учащихся, из них 6 девочек. До прихода ученицы было 19 учащихся и 5 девочек, то есть . Это противоречит условию, поэтому ответ отрицательный.
в) Пусть до прихода ученицы было учащихся и девочек: и . Проверяем возможные целые проценты . Значение 28 % приводит к , , но тогда . Значение 25 % достигается при , и исходная доля равна 20 %. Поэтому наибольшее возможное целое значение — 25 %.
а) Да. Например, если в классе 20 учащихся и 4 девочки, то доля девочек равна , что не превышает 22 %.
б) Если после прихода новой девочки доля стала 30 %, общее число учащихся должно делиться на 10. В допустимом диапазоне это 20 учащихся, из них 6 девочек. До прихода ученицы было 19 учащихся и 5 девочек, то есть . Это противоречит условию, поэтому ответ отрицательный.
в) Пусть до прихода ученицы было учащихся и девочек: и . Проверяем возможные целые проценты . Значение 28 % приводит к , , но тогда . Значение 25 % достигается при , и исходная доля равна 20 %. Поэтому наибольшее возможное целое значение — 25 %.
У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Коли быть 50 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть?
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 36; 50 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 30 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 30 монет.
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 36; 50 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 30 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 30 монет.
У Мити в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Мити быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть?
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 21; 30 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 20 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 20 монет.
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 21; 30 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 20 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 20 монет.
Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. Оля набрала 35 баллов.
а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если было 24 вопроса?
б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если было 25 вопросов?
в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если было 37 вопросов?
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При получаем , допустимо .
При получаем , допустимо .
При также , допустимо ; кандидат приводит к отрицательному .
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При получаем , допустимо .
При получаем , допустимо .
При также , допустимо ; кандидат приводит к отрицательному .
Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. Петя набрал 35 баллов.
а) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если было 30 вопросов?
б) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если было 35 вопросов?
в) На сколько вопросов Петя ответил правильно, если было 33 вопроса?
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При имеем ; допустимо , а даёт отрицательное .
При имеем ; допустимо , а 31 невозможно.
При также ; допустимо , а 31 невозможно.
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При имеем ; допустимо , а даёт отрицательное .
При имеем ; допустимо , а 31 невозможно.
При также ; допустимо , а 31 невозможно.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Их разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
а) Группы дают суммы 12 и .
б) Для каждого натурального имеем , а для первой и третьей групп увеличение строго меньше 18 раз. Поэтому суммарное увеличение в 18 раз невозможно.
в) Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Из увеличения в 11 раз следует . Но , значит, и . Максимум достигается на группах , , : суммы 56 и 616.
а) Группы дают суммы 12 и .
б) Для каждого натурального имеем , а для первой и третьей групп увеличение строго меньше 18 раз. Поэтому суммарное увеличение в 18 раз невозможно.
в) Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Из увеличения в 11 раз следует . Но , значит, и . Максимум достигается на группах , , : суммы 56 и 616.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Группы дают исходную сумму 13 и новую .
Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Новая сумма . Имеем , . При отрицательной добавке отношение меньше 10; иначе оно не больше . Последнее равносильно и верно для всех целых .
б) Отношение 17 невозможно.
в) Максимум достигается на группах , , : суммы 21 и 232.
а) Группы дают исходную сумму 13 и новую .
Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Новая сумма . Имеем , . При отрицательной добавке отношение меньше 10; иначе оно не больше . Последнее равносильно и верно для всех целых .
б) Отношение 17 невозможно.
в) Максимум достигается на группах , , : суммы 21 и 232.
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
На доске написаны 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих чисел быть равно 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих чисел быть равно 10?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического всех этих чисел.
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Для натурального обозначим через целую часть числа .
а) Существует ли натуральное , для которого ?
б) Существует ли натуральное , для которого ?
в) Сколько существует натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
Для натурального обозначим через целую часть числа .
а) Существует ли натуральное , для которого ?
б) Существует ли натуральное , для которого ?
в) Сколько существует натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
Есть три коробки: в первой — 97 камней; во второй — 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй — 59, а в третьей — 60?
б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну?
в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 64?
б) Может ли n равняться 78?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём , где q кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий стали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа. Из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 — уже нет?
в) Найдите все такие числа n, что фабрика может выпускать n новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия .
Пусть новая масса t, из 18 кг получается j деталей. Тогда и . Пересечение непусто только при , поэтому для 50 и 32 ответ «нет». Допустимые массы удовлетворяют , откуда . Все пять значений достигаются, например при массах 0,485; 0,47; 0,45; 0,43; 0,41 кг соответственно. Эти массы удовлетворяют исходному условию о разности количеств деталей.
Пусть новая масса t, из 18 кг получается j деталей. Тогда и . Пересечение непусто только при , поэтому для 50 и 32 ответ «нет». Допустимые массы удовлетворяют , откуда . Все пять значений достигаются, например при массах 0,485; 0,47; 0,45; 0,43; 0,41 кг соответственно. Эти массы удовлетворяют исходному условию о разности количеств деталей.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём , где q кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий стали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа. Из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?
в) Найдите минимальное число n такое, что фабрика может выпускать n новых деталей из 80 кг материала, а n − 1 деталь не сможет, не нарушая условия .
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
Есть три коробки: в первой 95 камней, во второй — 104, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могли ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Есть три коробки: в первой 112 камней, во второй — 99, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?
б) Могли ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).
Дано четырёхзначное число , где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём .
а) Может ли произведение быть больше суммы в 5 раз?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел таких, что ?
в) Известно, что , где k — двузначное число. При каком наибольшем значении число k будет наибольшим?
а) Для 2235 произведение 60, сумма 12. б) Подходят все числа с четырьмя различными ненулевыми цифрами: . в) Перебор цифр с условием целого двузначного k даёт максимум 96; наибольшее число при нём 9885: .
а) Для 2235 произведение 60, сумма 12. б) Подходят все числа с четырьмя различными ненулевыми цифрами: . в) Перебор цифр с условием целого двузначного k даёт максимум 96; наибольшее число при нём 9885: .
Дано четырёхзначное число , где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём .
а) Может ли произведение быть больше суммы в 3 раза?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел таких, что ?
в) Известно, что , где k — двузначное число. При каком наименьшем значении число k будет наибольшим?
а) Для 1236 произведение 36 и сумма 12. б) При четырёх различных ненулевых цифрах произведение больше суммы; поэтому среди цифр должен быть ноль. Число вариантов . в) Перебор цифр , с условием целого двузначного k даёт максимум ; наименьшее число при нём 5889: .
а) Для 1236 произведение 36 и сумма 12. б) При четырёх различных ненулевых цифрах произведение больше суммы; поэтому среди цифр должен быть ноль. Число вариантов . в) Перебор цифр , с условием целого двузначного k даёт максимум ; наименьшее число при нём 5889: .
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Доля первого набора . а) при . б) Для 135 нужно — не натуральное число. в) Среднее меняется на , поэтому k кратно 19. При увеличении первого набора : 152, 159, 166, 173. При уменьшении первого : 138, 131, 124, 117, 110, 103, 96, 89, 82.
Доля первого набора . а) при . б) Для 135 нужно — не натуральное число. в) Среднее меняется на , поэтому k кратно 19. При увеличении первого набора : 152, 159, 166, 173. При уменьшении первого : 138, 131, 124, 117, 110, 103, 96, 89, 82.
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Доля чисел первого набора равна . а) Новое среднее равно ; для 71 подходит . б) Для 70 потребовалось бы , что не является натуральным числом. в) Новое среднее равно . Для целого среднего k кратно 25. При увеличении первого набора , получаем 67; при уменьшении первого , получаем 89, 100, 111, 122, 133.
Доля чисел первого набора равна . а) Новое среднее равно ; для 71 подходит . б) Для 70 потребовалось бы , что не является натуральным числом. в) Новое среднее равно . Для целого среднего k кратно 25. При увеличении первого набора , получаем 67; при уменьшении первого , получаем 89, 100, 111, 122, 133.