На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
На доске написаны 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих чисел быть равно 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих чисел быть равно 10?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического всех этих чисел.
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Для действительного числа обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее . Например, , так как .
а) Существует ли такое натуральное число , что ?
б) Существует ли такое натуральное число , что ?
в) Сколько существует различных натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
Для действительного числа обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее . Например, , так как .
а) Существует ли такое натуральное число , что ?
б) Существует ли такое натуральное число , что ?
в) Сколько существует различных натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.