Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. В автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусе модели Б — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.
а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Пусть вместимости , , число автобусов А — . Тогда , .
а) При получаем 5 автобусов А и 4 автобуса Б, всего 220 детей.
б) При возможно : меньшее несовместимо с вместимостями, а при автобусы Б вмещают не меньше детей. Для возможные , для — . При число кратно 30; в допустимом диапазоне единственное такое число 270. Оно достигается при .
в) При единственная пара не даёт целого . При пара даёт . При имеем . Максимум 17.
Пусть вместимости , , число автобусов А — . Тогда , .
а) При получаем 5 автобусов А и 4 автобуса Б, всего 220 детей.
б) При возможно : меньшее несовместимо с вместимостями, а при автобусы Б вмещают не меньше детей. Для возможные , для — . При число кратно 30; в допустимом диапазоне единственное такое число 270. Оно достигается при .
в) При единственная пара не даёт целого . При пара даёт . При имеем . Максимум 17.
Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. В автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусе модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.
а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?
б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.
в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.
Пусть вместимости , , число автобусов А — . Тогда число детей , откуда и .
а) При получаем . б) Для число может быть только 4 или 5. При равенство требует кратное 3. Из подходят лишь пары и , дающие 132 и 144 ребёнка. При равенство требует или 36; соответствующее недопустимо либо 45 даёт 180. Значит, минимум 180.
в) Обозначим . При единственная допустимая пара не даёт целого . При условие допускает , откуда . При имеем . Максимум 546.
Пусть вместимости , , число автобусов А — . Тогда число детей , откуда и .
а) При получаем . б) Для число может быть только 4 или 5. При равенство требует кратное 3. Из подходят лишь пары и , дающие 132 и 144 ребёнка. При равенство требует или 36; соответствующее недопустимо либо 45 даёт 180. Значит, минимум 180.
в) Обозначим . При единственная допустимая пара не даёт целого . При условие допускает , откуда . При имеем . Максимум 546.
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. В каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) При таком уменьшении обоих средних на 10% найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Пусть первая школа имеет учащихся со средним , вторая со средним , а перешедший — результат .
а) Два ученика с результатами 19 и 1 имели среднее 10. После ухода первого среднее стало 1 — уменьшилось в 10 раз. Во второй школе можно взять семь учеников с результатом 1.
б), в) Уменьшение на 10% даёт , где . При целое требует , что невозможно. При целое либо невозможно, либо ; в последнем случае не является натуральным целым.
При получаем . В первой школе берём результаты , во второй — . После перехода средние и , оба уменьшились на 10%. Минимум .
Пусть первая школа имеет учащихся со средним , вторая со средним , а перешедший — результат .
а) Два ученика с результатами 19 и 1 имели среднее 10. После ухода первого среднее стало 1 — уменьшилось в 10 раз. Во второй школе можно взять семь учеников с результатом 1.
б), в) Уменьшение на 10% даёт , где . При целое требует , что невозможно. При целое либо невозможно, либо ; в последнем случае не является натуральным целым.
При получаем . В первой школе берём результаты , во второй — . После перехода средние и , оба уменьшились на 10%. Минимум .
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) При таком росте обоих средних баллов на 10% найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Пусть в первой школе учащихся со средним , во второй со средним , а перешедший набрал .
а) Удвоение среднего даёт , , что невозможно.
б), в) Рост обоих средних на 10% даёт . Поэтому . При целое возможно только при , но тогда нецелое. При возможны , однако или , тоже нецелые.
При получаем . В первой школе можно взять результаты 18 и 22, во второй — 49 результатов по 3. После перехода средние равны 22 и , оба выросли на 10%. Минимум .
Пусть в первой школе учащихся со средним , во второй со средним , а перешедший набрал .
а) Удвоение среднего даёт , , что невозможно.
б), в) Рост обоих средних на 10% даёт . Поэтому . При целое возможно только при , но тогда нецелое. При возможны , однако или , тоже нецелые.
При получаем . В первой школе можно взять результаты 18 и 22, во второй — 49 результатов по 3. После перехода средние равны 22 и , оба выросли на 10%. Минимум .
В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Обозначим количества лёгких, тяжёлых и килограммовых овощей . Баланс массы даёт , , , где .
а) Равенство невозможно. б) Из получаем нецелое , поэтому невозможно. в) Каждый лёгкий овощ весит не меньше г. Равенство достигается при : 32 овоща по 999 г и один 240 г, 22 по 1036 г, три по 1000 г.
Обозначим количества лёгких, тяжёлых и килограммовых овощей . Баланс массы даёт , , , где .
а) Равенство невозможно. б) Из получаем нецелое , поэтому невозможно. в) Каждый лёгкий овощ весит не меньше г. Равенство достигается при : 32 овоща по 999 г и один 240 г, 22 по 1036 г, три по 1000 г.
В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Пусть лёгких фруктов , тяжёлых , стограммовых . Баланс массы даёт , значит, , , , где целое. Из следует .
а) Поровну быть не может, так как . б) , значит, меньше 8 невозможно. в) Масса любого тяжёлого фрукта не больше г. Равенство достигается при : 40 фруктов по 85 г, 11 по 100 г, 24 по 101 г и один массой 676 г.
Пусть лёгких фруктов , тяжёлых , стограммовых . Баланс массы даёт , значит, , , , где целое. Из следует .
а) Поровну быть не может, так как . б) , значит, меньше 8 невозможно. в) Масса любого тяжёлого фрукта не больше г. Равенство достигается при : 40 фруктов по 85 г, 11 по 100 г, 24 по 101 г и один массой 676 г.
Для набора 40 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 777?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 33?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Упорядочим числа . Нужно .
а) Набор подходит: . б) Набор содержит 40 чисел и подходит: . Следовательно, ответ «нет» в таблице не соответствует напечатанному условию.
в) Имеем . Поэтому , и из следует , а значит, . Сумма всех чисел не меньше . Набор даёт эту сумму и удовлетворяет .
Упорядочим числа . Нужно .
а) Набор подходит: . б) Набор содержит 40 чисел и подходит: . Следовательно, ответ «нет» в таблице не соответствует напечатанному условию.
в) Имеем . Поэтому , и из следует , а значит, . Сумма всех чисел не меньше . Набор даёт эту сумму и удовлетворяет .
Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Упорядочим числа . Условие равносильно . Левая часть не меньше , правая не больше . Значит, , то есть .
а) Набор подходит: сумма трёх наибольших 3081 меньше суммы четырёх наименьших 4002. б) Число 66 невозможно, поскольку все числа не меньше 79. в) Сумма не меньше суммы , равной 2805. Для этого набора , поэтому минимум достигается.
Упорядочим числа . Условие равносильно . Левая часть не меньше , правая не больше . Значит, , то есть .
а) Набор подходит: сумма трёх наибольших 3081 меньше суммы четырёх наименьших 4002. б) Число 66 невозможно, поскольку все числа не меньше 79. в) Сумма не меньше суммы , равной 2805. Для этого набора , поэтому минимум достигается.
Для каждого натурального числа обозначим через произведение первых натуральных чисел ().
а) Существует ли такое натуральное число , что десятичная запись числа оканчивается ровно 10 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число , что десятичная запись числа оканчивается ровно 17 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел , меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа оканчивается ровно 17 нулями?
Число конечных нулей факториала равно количеству множителей 5: . а) При имеем . б) До 75 число нулей не больше , а начиная с 75 не меньше . Поэтому 17 невозможно.
в) Пишем . При сумма равна 18. При она равна 17 для и 16 для остальных остатков. Подходящих остатков четыре, каждый встречается при . Итого 12.
Число конечных нулей факториала равно количеству множителей 5: . а) При имеем . б) До 75 число нулей не больше , а начиная с 75 не меньше . Поэтому 17 невозможно.
в) Пишем . При сумма равна 18. При она равна 17 для и 16 для остальных остатков. Подходящих остатков четыре, каждый встречается при . Итого 12.
Для каждого натурального числа обозначим через произведение первых натуральных чисел ().
а) Существует ли такое натуральное число , что десятичная запись числа оканчивается ровно 9 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число , что десятичная запись числа оканчивается ровно 23 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел , меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа оканчивается ровно 23 нулями?
Число конечных нулей факториала равно количеству множителей 5: . а) При имеем . б) До 100 число нулей не больше , а начиная со 100 не меньше . Поэтому 23 невозможно.
в) Пишем , . Если , сумма чисел нулей равна 24. При она равна 23 для и 22 для остальных остатков. Каждый из четырёх подходящих остатков встречается при . Итого 16.
Число конечных нулей факториала равно количеству множителей 5: . а) При имеем . б) До 100 число нулей не больше , а начиная со 100 не меньше . Поэтому 23 невозможно.
в) Пишем , . Если , сумма чисел нулей равна 24. При она равна 23 для и 22 для остальных остатков. Каждый из четырёх подходящих остатков встречается при . Итого 16.
У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Коли быть 50 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть?
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 36; 50 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 30 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 30 монет.
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 36; 50 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 30 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 30 монет.
У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть?
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 21; 30 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 20 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 20 монет.
Пусть количества монет соответственно. Условия означают , , . Складывая, получаем , поэтому максимум числа монет 21; 30 монет быть не может. Максимум достигается при .
Для денежного максимума используется подразумеваемая условием возможность взять 20 монет, то есть . Из первых двух ограничений , поэтому . При фиксированном сумма не больше . Равенство достигается на , всего 20 монет.
Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. Оля набрала 35 баллов.
а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если было 24 вопроса?
б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если было 25 вопросов?
в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если было 37 вопросов?
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При получаем , допустимо .
При получаем , допустимо .
При также , допустимо ; кандидат приводит к отрицательному .
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При получаем , допустимо .
При получаем , допустимо .
При также , допустимо ; кандидат приводит к отрицательному .
Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. Петя набрал 35 баллов.
а) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если было 30 вопросов?
б) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если было 35 вопросов?
в) На сколько вопросов Петя ответил правильно, если было 33 вопроса?
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При имеем ; допустимо , а даёт отрицательное .
При имеем ; допустимо , а 31 невозможно.
При также ; допустимо , а 31 невозможно.
Пусть правильных ответов , неверных , пропусков . Тогда , .
При имеем ; допустимо , а даёт отрицательное .
При имеем ; допустимо , а 31 невозможно.
При также ; допустимо , а 31 невозможно.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Их разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
а) Группы дают суммы 12 и .
б) Для каждого натурального имеем , а для первой и третьей групп увеличение строго меньше 18 раз. Поэтому суммарное увеличение в 18 раз невозможно.
в) Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Из увеличения в 11 раз следует . Но , значит, и . Максимум достигается на группах , , : суммы 56 и 616.
а) Группы дают суммы 12 и .
б) Для каждого натурального имеем , а для первой и третьей групп увеличение строго меньше 18 раз. Поэтому суммарное увеличение в 18 раз невозможно.
в) Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Из увеличения в 11 раз следует . Но , значит, и . Максимум достигается на группах , , : суммы 56 и 616.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Группы дают исходную сумму 13 и новую .
Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Новая сумма . Имеем , . При отрицательной добавке отношение меньше 10; иначе оно не больше . Последнее равносильно и верно для всех целых .
б) Отношение 17 невозможно.
в) Максимум достигается на группах , , : суммы 21 и 232.
а) Группы дают исходную сумму 13 и новую .
Пусть чисел , исходная сумма , сумма третьей группы , размеры первых двух групп . Новая сумма . Имеем , . При отрицательной добавке отношение меньше 10; иначе оно не больше . Последнее равносильно и верно для всех целых .
б) Отношение 17 невозможно.
в) Максимум достигается на группах , , : суммы 21 и 232.
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
Пусть положительных чисел , отрицательных , нулей , всего . Из среднего арифметического . Значит, делится на 7; между 35 и 49 только . Получаем , то есть . Так как , имеем . Кроме того, , поэтому положительных больше. Максимум достигается при : можно взять 24 числа, равных 14, и 18 чисел, равных −7.
На доске написаны 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих чисел быть равно 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих чисел быть равно 10?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического всех этих чисел.
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Пусть числа упорядочены . Имеем , , поэтому общая сумма .
а) Семь различных чисел не больше 16 имеют сумму не больше : невозможно.
Для пунктов б), в) положим , . Так как следующие пять чисел не меньше , имеем и . Если , то . Если , то . Следовательно, всегда . Это исключает среднее 10.
Минимум достигается на числах : нужные суммы равны 48 и 98, общая сумма 123. Минимальное среднее равно .
Для действительного числа обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее . Например, , так как .
а) Существует ли такое натуральное число , что ?
б) Существует ли такое натуральное число , что ?
в) Сколько существует различных натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 552.
Для действительного числа обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее . Например, , так как .
а) Существует ли такое натуральное число , что ?
б) Существует ли такое натуральное число , что ?
в) Сколько существует различных натуральных , для которых ?
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
а) Сумма дробей в левой части строго меньше , поэтому сумма их целых частей тоже меньше : такого числа нет.
б) Подходит : сумма целых частей равна .
в) Обозначим разность левой части и через . Наименьшее общее кратное знаменателей равно , а сумма их обратных величин равна . Поэтому . Запишем , . Тогда и уравнение равносильно . Для каждого остатка имеется ровно одно целое . При имеем , так что все полученные положительны. Всего решений 306.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
а) . б) Для цифр a≥1,b,c≥0 имеем , то есть отношение всегда больше 10. в) Пусть s=b+c≥1. При s=1 возможны только 701 и 710, и их отношения к 8 нецелые. При s=2 максимум достигается на 720 и равен 80. При s≥3 отношение не больше . Поэтому наибольшее целое отношение равно 80.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . Левая часть от 16 до 144; справа возможны лишь 0,74,83, поскольку 148,157,166 уже больше 144. Ни одна положительная возможность не кратна 16. в) Для числа 400+10b+c отношение уменьшается с ростом каждой из b,c, поэтому оно не меньше . Целые 23,24,25 потребовали бы соответственно , , , но решения в цифрах 0…9 отсутствуют. Значение 26 достигается на 468: сумма цифр 18.
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 336 требует знаменатели 16,7 и 3 либо 6. При таком выборе сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Обмен числителя, меньшего любого знаменателя, с этим знаменателем увеличивает сумму, поэтому в максимуме числители 6,7,16, знаменатели 2,3,4. По перестановке пар максимум .
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ?
б) Может ли выполняться равенство ?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
а) . б) Несократимый знаменатель 240 требует среди знаменателей 16,5 и 3 либо 6. При таком выборе наибольшая возможная сумма не превосходит , поэтому равенство невозможно. в) Если числитель больше одного из знаменателей, их обмен уменьшает сумму: для двух дробей разность . Поэтому в минимуме числители 2,3,4, знаменатели 5,6,16. Перестановка пар даёт минимум .
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
а) Подходит тройка (3435;15;6). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3. Число 2345 этому условию не удовлетворяет. в) Второе число не больше 27 и имеет сумму цифр 5: это 5,14,23. Значение 5 исключено условием различных чисел. Число трёхзначных чисел с суммой цифр 14 равно 70, с суммой 23 — 15. Итого 85.
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
а) Подходит (2009;11;2). б) Число и сумма его цифр равны по модулю 3, поэтому сумма тройки кратна 3, а 2021 не кратно 3. в) Второе число не больше 27; сумма его цифр равна 2 при значениях 2,11,20. Значение 2 исключено требованием различных чисел. Для цифр первого числа , b,c∈[0;9] число решений a+b+c=11 равно 61, для суммы 20 — 36 (подсчёт ограниченных композиций). Итого 97.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
По модулю 6 соседние члены равны, поэтому все члены имеют один остаток r. Сумма 7735 даёт ; ни L=3, ни L=6 невозможны. Любая пара соседних натуральных членов имеет сумму не меньше 8. При 1934 членах сумма не меньше , поэтому L≤1933. Чередование 7,1,7,1,…,7 из 1933 членов имеет сумму , значит максимум достигается.
Есть три коробки: в первой — 97 камней; во второй — 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй — 59, а в третьей — 60?
б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну?
в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Общая сумма 177 сохраняется, а разность содержимого любых двух коробок сохраняется по модулю 3. а) После 33 ходов в третью коробку получаем (64;47;66), затем 6 ходов во вторую дают (58;59;60). б) Начальная разность первой и второй равна 17, она не кратна 3, поэтому равенство невозможно. в) 177 во второй означало бы нули в первой и третьей, что противоречит их разности 97 по модулю 3. Число 176 достижимо: 32 хода в третью, затем 64 во вторую дают (1;176;0).
Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 64?
б) Может ли n равняться 78?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
а) . б) Для цифр a,b,c равенство даёт . При возможны лишь b,c=0 или 1; ни одна положительная правая часть не кратна 22. в) При a≤4 отношение не превосходит . При a=5 максимум достигается на 511 и равен 73. При a=6 число 611 даёт нецелое 76,375; для остальных пар цифр сумма не меньше 9, и отношение не больше . Поэтому максимум — 73.
Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
а) . б) Пусть число . Равенство даёт . Для , решений нет: проверка b=0,1 и c=0,1 охватывает все возможные правые части не более 126. в) При ненулевых цифрах для a≤6 отношение не больше . При a=7 минимум b=c=1 даёт , остальные пары меньше. При a=8 значение 811/10=81,1 нецелое; следующая минимальная сумма цифр даёт максимум 821/11<79. При a=9 условие числа <910 заставляет b=0. Максимум равен 79.
Из кг материала фабрика изготавливает одинаковых деталей массой кг каждая, причём , где кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 36 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 37 — уже нет?
в) Найдите все такие числа , что фабрика может выпускать новых деталей из 25 кг материала, не нарушая условия .
Пусть новая масса кг, а из 18 кг получается деталей. Тогда старых деталей из 21 кг получается , и , . Пересечение непусто только при . Действительно, условия и дают соответственно и , откуда для целых получаем 37–43.
а), б) Значения и невозможны.
в) Для всех допустимых масс . Поэтому . Все значения достигаются: массы кг дают соответственно 51–61 деталь из 25 кг и удовлетворяют исходному условию о разности количеств.
Примечание: в таблице ответов перечислены только 57–61. Проверка исходного условия показывает, что 51–56 также возможны, поэтому они включены в ответ.
Пусть новая масса кг, а из 18 кг получается деталей. Тогда старых деталей из 21 кг получается , и , . Пересечение непусто только при . Действительно, условия и дают соответственно и , откуда для целых получаем 37–43.
а), б) Значения и невозможны.
в) Для всех допустимых масс . Поэтому . Все значения достигаются: массы кг дают соответственно 51–61 деталь из 25 кг и удовлетворяют исходному условию о разности количеств.
Примечание: в таблице ответов перечислены только 57–61. Проверка исходного условия показывает, что 51–56 также возможны, поэтому они включены в ответ.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём , где q кг — остатки материала, и . После внедрения новых технологий стали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа. Из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?
в) Найдите минимальное число n такое, что фабрика может выпускать n новых деталей из 80 кг материала, а n − 1 деталь не сможет, не нарушая условия .
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Примечание: ответ 36 из таблицы не соответствует напечатанному вопросу о 80 кг. Например, при кг из 63 кг получается 22 новые детали, из 64 кг — 20 старых; из 80 кг — 27 новых. Полученное минимальное значение — 27.
Пусть новая масса t, а из 63 кг получают j деталей. Тогда и . а) Для интервалы не пересекаются. б) Для пересечение также пусто. в) Условия непустого пересечения дают . Наибольшая допустимая масса кг: новых деталей из 63 кг получается 22, старых из 64 кг — 20. Поэтому . При этой массе из 80 кг получается ровно 27 деталей, а после изготовления 26 остаток превышает массу детали, нарушая .
Примечание: ответ 36 из таблицы не соответствует напечатанному вопросу о 80 кг. Например, при кг из 63 кг получается 22 новые детали, из 64 кг — 20 старых; из 80 кг — 27 новых. Полученное минимальное значение — 27.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
а) Подходит 404, 3232, 404. б) В любой последовательности чётной длины сумма кратна 9: после выделения общего натурального множителя члены имеют вид , степени меняют чётность на каждом шаге, а . Число 4040 не кратно 9. в) Каждая соседняя пара имеет сумму не меньше 9. При длине 898 сумма не меньше 4041, поэтому . Чередование 8, 1, 8, 1, …, 8 длины 897 имеет сумму .
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
а) Подходит последовательность 161, 1127, 7889. б) Подходит последовательность 2793, 399, 2793, 399, 2793: соседние члены отличаются в 7 раз, сумма 9177. в) Сумма каждой соседней пары не меньше 8. Для нечётного количества N сумма не меньше , для чётного — не меньше . Поэтому . Чередование 1, 7, 1, 7, …, 1 длины 2295 имеет сумму , максимум достигается.
Есть три коробки: в первой 95 камней, во второй — 104, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могли ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Сумма камней 199 и разности количеств по модулю 3 сохраняются. а) После 95 ходов в третью коробку получаем (0;9;190). Три цикла «в первую, в третью, в третью» дают (0;0;199). б) Разность первой и второй коробок исходно кратна 3, а не кратно 3. в) При первой коробке 2 вторая содержит , значит не менее 2, третья не более 195. После 93 ходов в третью имеем (2;11;186), затем три таких же цикла дают (2;2;195).
Есть три коробки: в первой 112 камней, во второй — 99, третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могли ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?
б) Могли ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).
Сумма камней 211 сохраняется, а разности количеств по модулю 3 неизменны. а) Три раза повторим цикл: два хода в третью коробку, один во вторую; каждый цикл даёт изменение . б) Состояние (0;0;211) нарушает остаток разности первых двух коробок по модулю 3. в) При второй коробке 4 первая содержит , поэтому не менее 2, а третья не более 205. После 95 ходов в третью получаем (17;4;190), затем пять циклов «во вторую, в третью, в третью» дают (2;4;205).