Каждый из группы учеников решил хотя бы одну задачу. Всего было решено 60 задач (разные ученики могут решать одинаковые задачи). Известно, что если ученик решил k задач, то ровно k других учеников решили столько же задач.
а) Могло ли быть 12 учеников?
б) Мог ли каждый ученик решить не более 4 задач?
в) Какое наибольшее количество учеников могло быть в группе?
В увеличивающейся последовательности натуральных чисел каждый следующий член является делителем произведения всех предыдущих членов, увеличенного на 1.
а) Может ли последовательность содержать 5 членов?
б) Может ли последовательность содержать число 2025?
в) Какое наибольшее количество членов может содержать такая последовательность?
Петя выписывает в ряд натуральные числа, при этом каждое следующее число либо на 4 больше, либо в 2 раза больше предыдущего.
а) Может ли Петя получить число 64, начав с числа 2?
б) Может ли Петя получить число 200, начав с числа 1?
в) Начав с числа 1, Петя получил число 2026. Какое наименьшее количество шагов ему понадобилось?
Школьники записали по одному натуральному числу на каждой из 20 карточек. Сумма всех чисел равна 200.
а) Может ли каждое число на карточке делиться на 7?
б) Можно ли разложить карточки на две стопки так, чтобы суммы чисел в стопках различались ровно на 2?
в) Какое наибольшее количество карточек с чётными числами может быть, если все числа на карточках различны?
Дано натуральное число n. Рассмотрим все делители числа n, отличные от 1 и самого n. Произведение наименьшего и наибольшего из этих делителей обозначим P(n).
а) Найдите P(60).
б) Может ли P(n) = n?
в) Для какого наименьшего n выполняется P(n) = 2n/3?
Набор натуральных чисел (не обязательно различных) назовём «сбалансированным», если каждое из чисел набора меньше суммы всех остальных.
а) Является ли набор 2, 3, 4, 5 сбалансированным?
б) Может ли сумма чисел сбалансированного набора из 5 чисел равняться 11?
в) Какое наименьшее значение суммы может иметь сбалансированный набор из 100 чисел?
Назовём натуральное число «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей и каждая цифра, кроме крайних, меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.
а) Является ли число 13542 «хорошим»?
б) Существует ли шестизначное «хорошее» число?
в) Найдите наибольшее «хорошее» число.
На доске написали несколько различных натуральных чисел, сумма которых равна 100.
а) Может ли на доске быть написано 10 чисел?
б) Может ли произведение всех написанных чисел быть кратно 99?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если никакие два из них не являются соседними натуральными числами?
Последовательность состоит из натуральных чисел. Первый член равен 1. Каждый следующий член либо на 1 больше, либо в 3 раза больше предыдущего.
а) Может ли в этой последовательности быть число 20?
б) Может ли 2026 быть членом этой последовательности?
в) Какое наименьшее количество членов может быть в последовательности, если её последний член равен 100?
Натуральные числа a, b, c таковы, что НОД(a, b, c) = 1 и a + b + c = 30.
а) Может ли abc = 1000?
б) Может ли abc = 2024?
в) Какое наибольшее значение может принимать abc?
Даны 10 различных натуральных чисел. Известно, что для любых двух из них разность наибольшего и наименьшего делится на 7.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 1, а наибольшее — 63?
б) Может ли сумма всех десяти чисел равняться 75?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех десяти чисел?
В ряд выписаны 100 натуральных чисел (не обязательно различных). Сумма любых трёх подряд идущих чисел не превышает 10.
а) Может ли сумма всех 100 чисел равняться 350?
б) Может ли сумма всех 100 чисел равняться 399?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма всех 100 чисел?
Загадано натуральное число, не превышающее 300. Известно, что оно делится на каждую свою цифру (цифра 0 не встречается).
а) Может ли это число быть трёхзначным с цифрой 7?
б) Сколько таких чисел существует среди двузначных?
в) Какое наибольшее такое трёхзначное число существует?
Группа туристов из n человек разбивается на команды. Каждый турист входит ровно в одну команду, и в каждой команде не менее 2 и не более 5 человек.
а) Можно ли разбить 10 туристов на команды так, чтобы количество команд было равно 3?
б) Можно ли разбить 23 туриста на команды, в которых число людей попарно различно?
в) Какое наибольшее n таково, что при любом разбиении на команды все команды имеют одинаковый размер?
Маша выбирает пятизначное число, в котором все цифры различны и не равны нулю.
а) Может ли отношение этого числа к сумме его цифр быть равно 100?
б) Может ли произведение цифр выбранного числа быть равно 2016?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение выбранного числа к произведению его цифр?
Про набор из 40 целых чисел известно, что сумма любых семи из них положительна.
а) Может ли сумма всех чисел набора быть отрицательной?
б) Может ли в наборе быть 35 отрицательных чисел?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в наборе?
Сумму цифр натурального числа n обозначим S(n).
а) Существует ли такое n, что n + S(n) = 2026?
б) Может ли n · S(n) = 2025?
в) Найдите наименьшее n такое, что n · S(n) > 10000, а S(n) < 10.
На доске записаны различные натуральные числа. Каждое число, начиная со второго, получено из предыдущего либо умножением на 2, либо прибавлением 1.
а) Может ли на доске быть записано 5 чисел, если первое из них 3, а последнее 24?
б) Можно ли за 7 операций из числа 1 получить 100?
в) Какое наименьшее количество операций нужно, чтобы из числа 1 получить 2026?
Про натуральное число N известно, что при делении на 10, 11 и 12 остатки равны соответственно 1, 2 и 3.
а) Может ли N = 551?
б) Может ли N быть трёхзначным числом?
в) Найдите наименьшее такое N, которое делится на 13.
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих.
а) Может ли в такой последовательности быть 5 членов, если последний равен 50?
б) Может ли в такой последовательности быть 10 членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в такой последовательности, если её последний член не превышает 2000?
Дан набор из 20 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трёх из них — натуральное число.
а) Приведите пример такого набора, в котором есть число 2026.
б) Может ли наименьшее число набора быть равно 1?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число набора?
Произведение 22 натуральных чисел равно 22!.
а) Может ли наибольшее из этих чисел равняться 23?
б) Может ли наибольшее из этих чисел равняться 26?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
На доске записаны n различных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 100. Известно, что среди них есть хотя бы одно чётное и хотя бы одно нечётное число, а сумма любых двух записанных чисел различной чётности больше 100.
а) Может ли n = 6?
б) Может ли n = 51?
в) Найдите наибольшее возможное значение n.
Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на две группы. Для каждой группы находят сумму всех чисел и затем эти суммы перемножают.
а) Может ли произведение равняться 2000?
б) Может ли произведение равняться 2024?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение?
На доске записаны натуральные числа от 1 до n. Стирают несколько чисел так, что среди оставшихся никакие два не отличаются ровно на 5.
а) Можно ли оставить 7 чисел при n = 12?
б) Можно ли оставить 11 чисел при n = 20?
в) Какое наибольшее количество чисел можно оставить при n = 100?
Двузначное число в 6 раз больше суммы своих цифр.
а) Может ли такое число быть кратным 8?
б) Может ли сумма двух таких чисел равняться 100?
в) Найдите все такие числа.
Набор состоит из натуральных чисел, не превышающих 40. В наборе нет одинаковых чисел. Сумма чисел набора равна 200.
а) Может ли набор состоять из 8 чисел?
б) Может ли набор состоять из 12 чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?
На доске написаны 30 натуральных чисел. Каждое следующее число больше предыдущего на 3.
а) Может ли сумма всех чисел на доске равняться 2024?
б) Может ли произведение наибольшего и наименьшего чисел равняться 2024?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех чисел на доске, если среди них ровно 10 чётных?
Дано четырёхзначное число abcd, где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a ≠ 0.
а) Может ли произведение a · b · c · d быть больше суммы a + b + c + d в 5 раз?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел abcd таких, что a · b · c · d > a + b + c + d?
в) Известно, что a · b · c · d = k(a + b + c + d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении abcd число k будет наибольшим?
Среднее геометрическое k чисел p₁, p₂, …, pₖ вычисляется по формуле ᵏ√(p₁ · p₂ · … · pₖ).
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
- к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
- вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «−50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−57», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.
В трёхзначном числе abc (равном 100a + 10b + c) произведение его цифр abc не равно 0.
а) Может ли число abc быть в пять раз больше произведения abc?
б) Может ли число abc быть в 120 раз больше произведения abc?
в) Найдите наименьшее возможное отношение числа abc к произведению abc.
Для набора 50 различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число −300?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 300?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Для набора 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число −400?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 400?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие классеры*, то потребуется k классеров, причём 7 ячеек в одном классере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие классеры, то потребуется k + 3 классеров и также 7 ячеек в одном классере останутся пустыми. Известно, что в большом классере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком — больше 100, но меньше 120 ячеек.
а) Может ли k быть равно 4?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
* Классер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.