На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
. Уравнение при даёт .
. Уравнение при даёт .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с?
. Из получаем .
. Из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? 
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции ? 
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-8; 3). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
Функция возрастает там, где её производная положительна. По графику учитываем все целые абсциссы, принадлежащие соответствующему промежутку; их сумма равна -7.
Функция возрастает там, где её производная положительна. По графику учитываем все целые абсциссы, принадлежащие соответствующему промежутку; их сумма равна -7.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
На части графика с имеются три точки с горизонтальной касательной: два максимума и один минимум между ними. Поэтому уравнение имеет 3 решения.
На части графика с имеются три точки с горизонтальной касательной: два максимума и один минимум между ними. Поэтому уравнение имеет 3 решения.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На данном графике шесть точек с горизонтальной касательной: три локальных максимума и три локальных минимума. В каждой из них .
На данном графике шесть точек с горизонтальной касательной: три локальных максимума и три локальных минимума. В каждой из них .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку , в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 
Касательная горизонтальна при . На отрезке график производной пересекает ось абсцисс при .
Касательная горизонтальна при . На отрезке график производной пересекает ось абсцисс при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку , в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда . На заданном отрезке график производной пересекает ось x при .
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда . На заданном отрезке график производной пересекает ось x при .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
График убывает от левого конца до минимума при и от максимума при до минимума при . Целые абсциссы строгого убывания — 3 и 4, всего две.
График убывает от левого конца до минимума при и от максимума при до минимума при . Целые абсциссы строгого убывания — 3 и 4, всего две.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна там, где график убывает. На двух открытых участках убывания находятся целые абсциссы . Их четыре; точки экстремумов не учитываются.
Производная отрицательна там, где график убывает. На двух открытых участках убывания находятся целые абсциссы . Их четыре; точки экстремумов не учитываются.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Производная параболы равна наклону касательной 9 при . Значение касательной там равно 4, а параболы — . Значит .
Производная параболы равна наклону касательной 9 при . Значение касательной там равно 4, а параболы — . Значит .
Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент. Производная параболы равна ; из получаем .
У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент. Производная параболы равна ; из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-5; 12). Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку [-4; 9]. 
Минимум функции возникает там, где производная меняет знак с минуса на плюс. На заданном отрезке таких переходов два.
Минимум функции возникает там, где производная меняет знак с минуса на плюс. На заданном отрезке таких переходов два.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-22; 2). Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку [-18; 1]. 
Точки минимума функции соответствуют переходам производной через ноль из отрицательных значений в положительные. На отрезке [-18; 1] таких переходов три.
Точки минимума функции соответствуют переходам производной через ноль из отрицательных значений в положительные. На отрезке [-18; 1] таких переходов три.