Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле , где — частота вынуждающей силы (в ), — постоянный параметр, — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на 80%. Ответ дайте в .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле , где — частота вынуждающей силы (в ), — постоянный параметр, — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на 12,5%. Ответ дайте в .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, до видимой им линии горизонта (в километрах) вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 24 км?
Нужная разность высот равна м.
Нужная разность высот равна м.
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, до видимой им линии горизонта (в километрах) вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 км?
Из формулы . Исходная высота равна 45 м, нужная — 80 м. Требуется подняться на 35 м. Высота ступеньки 0,2 м, поэтому минимальное количество ступенек равно .
Из формулы . Исходная высота равна 45 м, нужная — 80 м. Требуется подняться на 35 м. Высота ступеньки 0,2 м, поэтому минимальное количество ступенек равно .
Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону , где t — время с момента начала колебаний, с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
, v=2. Энергия Дж.
, v=2. Энергия Дж.
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону , где t — время с момента начала колебаний, с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
, поэтому v=1,6. Энергия Дж.
, поэтому v=1,6. Энергия Дж.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры °C до температуры T, причём , где Вт·с/(кг·°C) — теплоёмкость воды, Вт/(м·°C) — коэффициент теплообмена, а — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Множитель перед логарифмом 130/3. Получаем , откуда T=15+8=23.
Множитель перед логарифмом 130/3. Получаем , откуда T=15+8=23.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры °C до температуры T, причём , где Вт·с/(кг·°C) — теплоёмкость воды, Вт/(м·°C) — коэффициент теплообмена, а — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 100 м.
Множитель перед логарифмом равен 50. Поэтому , , T=33.
Множитель перед логарифмом равен 50. Поэтому , , T=33.
При температуре 0 °C рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
, откуда t=40.
, откуда t=40.
При температуре 0 °C рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
, откуда t=50.
, откуда t=50.
Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Производная . Угловой коэффициент касательной должен быть равен 6, поэтому , .
Производная . Угловой коэффициент касательной должен быть равен 6, поэтому , .
Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Производная функции . Для параллельности касательной требуется , поэтому .
Производная функции . Для параллельности касательной требуется , поэтому .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Требуется . Горизонтальная прямая пересекает график производной в шести точках.
Требуется . Горизонтальная прямая пересекает график производной в шести точках.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Угловой коэффициент касательной должен быть равен 1. График производной пересекает горизонтальную прямую в трёх точках.
Угловой коэффициент касательной должен быть равен 1. График производной пересекает горизонтальную прямую в трёх точках.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна; в правом конце достигает нуля. Функция убывает, поэтому минимум на отрезке достигается при .
На отрезке производная отрицательна; в правом конце достигает нуля. Функция убывает, поэтому минимум на отрезке достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На всём отрезке производная отрицательна. Функция убывает, поэтому наименьшее значение принимает на правом конце, при .
На всём отрезке производная отрицательна. Функция убывает, поэтому наименьшее значение принимает на правом конце, при .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени .
Скорость . Подставляем : .
Скорость . Подставляем : .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
График убывает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Искомое количество 4.
График убывает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Искомое количество 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На отрезке производная положительна до и отрицательна после этой точки. Функция сначала возрастает, затем убывает; наибольшее значение достигается при .
На отрезке производная положительна до и отрицательна после этой точки. Функция сначала возрастает, затем убывает; наибольшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечены 10 точек: . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции ? 
Функция убывает там, где её производная отрицательна. Ниже оси абсцисс расположены значения производной в точках . Их 6.
Функция убывает там, где её производная отрицательна. Ниже оси абсцисс расположены значения производной в точках . Их 6.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой −4. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку . 
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой −4. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку . 
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
. Уравнение при даёт .
. Уравнение при даёт .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с?
. Из получаем .
. Из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено десять точек: . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? 
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции ? 
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-8; 3). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
Функция возрастает там, где . По графику это промежуток примерно от до . В него входят целые точки ; их сумма равна .
Функция возрастает там, где . По графику это промежуток примерно от до . В него входят целые точки ; их сумма равна .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
. Уравнение при даёт .
. Уравнение при даёт .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с?
. Из получаем .
. Из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? 
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции ? 
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-8; 3). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
Функция возрастает там, где её производная положительна. По графику учитываем все целые абсциссы, принадлежащие соответствующему промежутку; их сумма равна -7.
Функция возрастает там, где её производная положительна. По графику учитываем все целые абсциссы, принадлежащие соответствующему промежутку; их сумма равна -7.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
На части графика с имеются три точки с горизонтальной касательной: два максимума и один минимум между ними. Поэтому уравнение имеет 3 решения.
На части графика с имеются три точки с горизонтальной касательной: два максимума и один минимум между ними. Поэтому уравнение имеет 3 решения.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На данном графике шесть точек с горизонтальной касательной: три локальных максимума и три локальных минимума. В каждой из них .
На данном графике шесть точек с горизонтальной касательной: три локальных максимума и три локальных минимума. В каждой из них .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку , в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 
Касательная горизонтальна при . На отрезке график производной пересекает ось абсцисс при .
Касательная горизонтальна при . На отрезке график производной пересекает ось абсцисс при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку , в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда . На заданном отрезке график производной пересекает ось x при .
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда . На заданном отрезке график производной пересекает ось x при .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
График убывает от левого конца до минимума при и от максимума при до минимума при . Целые абсциссы строгого убывания — 3 и 4, всего две.
График убывает от левого конца до минимума при и от максимума при до минимума при . Целые абсциссы строгого убывания — 3 и 4, всего две.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна там, где график убывает. На двух открытых участках убывания находятся целые абсциссы . Их четыре; точки экстремумов не учитываются.
Производная отрицательна там, где график убывает. На двух открытых участках убывания находятся целые абсциссы . Их четыре; точки экстремумов не учитываются.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Производная параболы равна наклону касательной 9 при . Значение касательной там равно 4, а параболы — . Значит .
Производная параболы равна наклону касательной 9 при . Значение касательной там равно 4, а параболы — . Значит .
Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент. Производная параболы равна ; из получаем .
У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент. Производная параболы равна ; из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-5; 12). Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку [-4; 9]. 
Минимум функции возникает там, где производная меняет знак с минуса на плюс. На заданном отрезке таких переходов два.
Минимум функции возникает там, где производная меняет знак с минуса на плюс. На заданном отрезке таких переходов два.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-22; 2). Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку [-18; 1]. 
Точки минимума функции соответствуют переходам производной через ноль из отрицательных значений в положительные. На отрезке [-18; 1] таких переходов три.
Точки минимума функции соответствуют переходам производной через ноль из отрицательных значений в положительные. На отрезке [-18; 1] таких переходов три.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/8t4 − 1/3t3 + 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 4 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 − t2 + 6t + 2.
v(4) = 42.
Ответ: 42.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 − t2 + 6t + 2.
v(4) = 42.
Ответ: 42.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2/3t3 − t2 + 5t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t2 − 2t + 5.
v(2) = 9.
Ответ: 9.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t2 − 2t + 5.
v(2) = 9.
Ответ: 9.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/16t4 + 1/2t3 + t2 + t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 4 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/4t3 + 3/2t2 + 2t + 1.
v(4) = 49.
Ответ: 49.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/4t3 + 3/2t2 + 2t + 1.
v(4) = 49.
Ответ: 49.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t3 + 2t2 − 3t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/2t2 + 4t − 3.
v(3) = 22,5.
Ответ: 22,5.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/2t2 + 4t − 3.
v(3) = 22,5.
Ответ: 22,5.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/12t4 + 1/3t3 + t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/3t3 + t2 + 2t + 2.
v(3) = 26.
Ответ: 26.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/3t3 + t2 + 2t + 2.
v(3) = 26.
Ответ: 26.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/4t3 + 3/2t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 4 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/4t2 + 3t + 2.
v(4) = 26.
Ответ: 26.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/4t2 + 3t + 2.
v(4) = 26.
Ответ: 26.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/8t4 + 1/2t3 − t2 + 4t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 + 3/2t2 − 2t + 4.
v(2) = 10.
Ответ: 10.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 + 3/2t2 − 2t + 4.
v(2) = 10.
Ответ: 10.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 − 4t2 + 9t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3t2 − 8t + 9.
v(3) = 12.
Ответ: 12.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3t2 − 8t + 9.
v(3) = 12.
Ответ: 12.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/4t4 − t3 + 4t2 + 3t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 − 3t2 + 8t + 3.
v(3) = 27.
Ответ: 27.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 − 3t2 + 8t + 3.
v(3) = 27.
Ответ: 27.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2/3t3 − 3t2 + 10t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t2 − 6t + 10.
v(3) = 10.
Ответ: 10.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t2 − 6t + 10.
v(3) = 10.
Ответ: 10.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/8t4 + 2t2 + t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 + 4t + 1.
v(2) = 13.
Ответ: 13.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 1/2t3 + 4t + 1.
v(2) = 13.
Ответ: 13.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t3 − t2 + 6t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 4 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/2t2 − 2t + 6.
v(4) = 22.
Ответ: 22.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 3/2t2 − 2t + 6.
v(4) = 22.
Ответ: 22.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/4t4 − 2/3t3 + t2 + 5t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 − 2t2 + 2t + 5.
v(2) = 9.
Ответ: 9.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 − 2t2 + 2t + 5.
v(2) = 9.
Ответ: 9.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t3 + 2t2 − t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 3 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t2 + 4t − 1.
v(3) = 20.
Ответ: 20.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t2 + 4t − 1.
v(3) = 20.
Ответ: 20.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t4 − t3 + 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t3 − 3t2 + 6t + 2.
v(2) = 18.
Ответ: 18.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = 2t3 − 3t2 + 6t + 2.
v(2) = 18.
Ответ: 18.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/4t4 + t2 − 4t, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 + 2t − 4.
v(2) = 8.
Ответ: 8.
Скорость равна производной координаты: v(t) = x′(t) = t3 + 2t − 4.
v(2) = 8.
Ответ: 8.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 1. Найдите значение производной f′(1).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 3), поэтому её угловой коэффициент равен 3 : 1 = 3.
Ответ: 3.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 3), поэтому её угловой коэффициент равен 3 : 1 = 3.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 2. Найдите значение производной f′(2).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 2), поэтому её угловой коэффициент равен 2 : 1 = 2.
Ответ: 2.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 2), поэтому её угловой коэффициент равен 2 : 1 = 2.
Ответ: 2.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной f′(4).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; 3), поэтому её угловой коэффициент равен 3 : 2 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; 3), поэтому её угловой коэффициент равен 3 : 2 = 1,5.
Ответ: 1,5.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 3. Найдите значение производной f′(3).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 1), поэтому её угловой коэффициент равен 1 : 1 = 1.
Ответ: 1.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; 1), поэтому её угловой коэффициент равен 1 : 1 = 1.
Ответ: 1.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 2. Найдите значение производной f′(2).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; 1), поэтому её угловой коэффициент равен 1 : 2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; 1), поэтому её угловой коэффициент равен 1 : 2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной f′(4).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; −1), поэтому её угловой коэффициент равен −1 : 1 = −1.
Ответ: −1.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; −1), поэтому её угловой коэффициент равен −1 : 1 = −1.
Ответ: −1.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 3. Найдите значение производной f′(3).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; −3), поэтому её угловой коэффициент равен −3 : 2 = −1,5.
Ответ: −1,5.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (2; −3), поэтому её угловой коэффициент равен −3 : 2 = −1,5.
Ответ: −1,5.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 2. Найдите значение производной f′(2).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; −2), поэтому её угловой коэффициент равен −2 : 1 = −2.
Ответ: −2.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через начало координат O(0; 0) и через точку (1; −2), поэтому её угловой коэффициент равен −2 : 1 = −2.
Ответ: −2.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8, x = 0, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = 0, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8, x = 0, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = 0, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8,5, x = 0,5, x = 6,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8,5, x = 0,5, x = 6,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8,5, x = 0,5, x = 6,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8,5, x = 0,5, x = 6,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −5, x = −0,5, x = 7,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −5, x = −0,5, x = 7,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −5, x = −0,5, x = 7,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −5, x = −0,5, x = 7,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8, x = 1, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = 1, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −8, x = 1, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = 1, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −3, x = 1, x = 6,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −3, x = 1, x = 6,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −3, x = 1, x = 6,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −3, x = 1, x = 6,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 5: x = −8, x = −4, x = 0,5, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = −4, x = 0,5, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 4.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 5: x = −8, x = −4, x = 0,5, x = 4,5, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −8, x = −4, x = 0,5, x = 4,5; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 4.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) соответствуют переходам производной f′(x) через ноль с положительных значений на отрицательные.
Отрезку [−9; 9] принадлежат три таких перехода: x = −4, x = 2 и x = 7. Переход при x = −9,5 тоже даёт точку максимума, но она лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) соответствуют переходам производной f′(x) через ноль с положительных значений на отрицательные.
Отрезку [−9; 9] принадлежат три таких перехода: x = −4, x = 2 и x = 7. Переход при x = −9,5 тоже даёт точку максимума, но она лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −4,5, x = 1, x = 5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −4,5, x = 1, x = 5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −4,5, x = 1, x = 5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −4,5, x = 1, x = 5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 3: x = −9,5, x = −2, x = 1,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −2, x = 1,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 2.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 3: x = −9,5, x = −2, x = 1,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −2, x = 1,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 2.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −1,5, x = 2,5, x = 8,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −1,5, x = 2,5, x = 8,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −1,5, x = 2,5, x = 8,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −1,5, x = 2,5, x = 8,5; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −3, x = 2,5, x = 6, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −3, x = 2,5, x = 6; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −3, x = 2,5, x = 6, x = 9,5. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −3, x = 2,5, x = 6; точка x = 9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 9].
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −5, x = 0, x = 8. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −5, x = 0, x = 8; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.
Точки максимума функции f(x) — это точки, в которых производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то есть график производной пересекает ось абсцисс сверху вниз.
Таких точек на рисунке 4: x = −9,5, x = −5, x = 0, x = 8. Отрезку [−9; 9] принадлежат x = −5, x = 0, x = 8; точка x = −9,5 лежит вне отрезка.
Ответ: 3.