На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой −4. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку . 
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
. Уравнение при даёт .
. Уравнение при даёт .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с?
. Из получаем .
. Из получаем .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На отрезке производная отрицательна, функция убывает. Наименьшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На всём отрезке производная положительна, поэтому функция возрастает и достигает максимума при .
На рисунке изображён график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
Наклон требуемой касательной равен 3, значит, ищем . По графику пересечение с уровнем 3 происходит при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
Нужный наклон касательной равен −2, то есть . Горизонтальная прямая на уровне −2 пересекает график производной семь раз.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено десять точек: . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? 
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
Функция возрастает при . На рисунке это точки ; всего 7.
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено девять точек: . Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции ? 
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
Функция убывает там, где . По графику это происходит в отмеченных точках ; всего 6 точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
По графику в промежутках, содержащих целые точки . Их сумма .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале (-8; 3). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 
Функция возрастает там, где . По графику это промежуток примерно от до . В него входят целые точки ; их сумма равна .
Функция возрастает там, где . По графику это промежуток примерно от до . В него входят целые точки ; их сумма равна .