Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Производная . Угловой коэффициент касательной должен быть равен 6, поэтому , .
Производная . Угловой коэффициент касательной должен быть равен 6, поэтому , .
Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Производная функции . Для параллельности касательной требуется , поэтому .
Производная функции . Для параллельности касательной требуется , поэтому .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Требуется . Горизонтальная прямая пересекает график производной в шести точках.
Требуется . Горизонтальная прямая пересекает график производной в шести точках.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. 
Угловой коэффициент касательной должен быть равен 1. График производной пересекает горизонтальную прямую в трёх точках.
Угловой коэффициент касательной должен быть равен 1. График производной пересекает горизонтальную прямую в трёх точках.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На отрезке производная отрицательна; в правом конце достигает нуля. Функция убывает, поэтому минимум на отрезке достигается при .
На отрезке производная отрицательна; в правом конце достигает нуля. Функция убывает, поэтому минимум на отрезке достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение? 
На всём отрезке производная отрицательна. Функция убывает, поэтому наименьшее значение принимает на правом конце, при .
На всём отрезке производная отрицательна. Функция убывает, поэтому наименьшее значение принимает на правом конце, при .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени .
Скорость . Подставляем : .
Скорость . Подставляем : .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
График убывает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Искомое количество 4.
График убывает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Искомое количество 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? 
На отрезке производная положительна до и отрицательна после этой точки. Функция сначала возрастает, затем убывает; наибольшее значение достигается при .
На отрезке производная положительна до и отрицательна после этой точки. Функция сначала возрастает, затем убывает; наибольшее значение достигается при .
На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечены 10 точек: . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции ? 
Функция убывает там, где её производная отрицательна. Ниже оси абсцисс расположены значения производной в точках . Их 6.
Функция убывает там, где её производная отрицательна. Ниже оси абсцисс расположены значения производной в точках . Их 6.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой −4. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
Точка касания . Угловой коэффициент касательной через начало равен . Это значение производной.
На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке . 
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
Точка касания имеет координаты . Наклон касательной через начало координат , значит, .
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0. 
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На графике три минимума и три максимума с горизонтальными касательными. Всего 6 нулей производной.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
График возрастает при целых абсциссах . В точках экстремума производная равна нулю. Всего 6 точек.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения на отрезке . 
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
Нули производной соответствуют горизонтальным касательным. На отрезке видны четыре минимума и три максимума, всего 7 таких точек.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку . 
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
Минимумы соответствуют переходам производной через ноль снизу вверх. На указанном отрезке таких переходов два: около и . Следующий переход правее 5.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
Точки экстремума имеют абсциссы −7, −5, −4, −3, −1, 0, 2. Их сумма −18.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . 
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
Абсциссы экстремумов: −5, −4, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 6. Их сумма равна −1.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
Касательная горизонтальна в семи точках экстремума: четырёх минимумах и трёх максимумах.
На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . 
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Касательная должна быть горизонтальной. На графике девять точек с горизонтальной касательной — пять минимумов и четыре максимума.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. Дискриминант , откуда .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
Уравнение пересечения имеет двойной корень. , или . Абсцисса касания только при .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции отрицательна. 
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
Производная отрицательна в отмеченных точках на убывающих участках: . Всего восемь.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено шесть точек: . Укажите количество точек из отмеченных, в которых производная функции положительна. 
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
Производная положительна там, где график возрастает. Это отмеченные точки и ; их две.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку . 
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
Максимум функции возникает при смене знака производной с плюса на минус. На отрезке такая смена происходит один раз.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку . 
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.
Точки экстремума соответствуют смене знака производной. На отрезке график производной пересекает ось абсцисс со сменой знака пять раз.