В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 12. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=12 получаем 24.
Ответ: 24.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=12 получаем 24.
Ответ: 24.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 11. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=11 получаем 22.
Ответ: 22.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=11 получаем 22.
Ответ: 22.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 10. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=10 получаем 20.
Ответ: 20.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=10 получаем 20.
Ответ: 20.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 9. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=9 получаем 18.
Ответ: 18.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=9 получаем 18.
Ответ: 18.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 8. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=8 получаем 16.
Ответ: 16.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=8 получаем 16.
Ответ: 16.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 7. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=7 получаем 14.
Ответ: 14.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=7 получаем 14.
Ответ: 14.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 6. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=6 получаем 12.
Ответ: 12.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=6 получаем 12.
Ответ: 12.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 5. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=5 получаем 10.
Ответ: 10.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=5 получаем 10.
Ответ: 10.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 4. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=4 получаем 8.
Ответ: 8.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=4 получаем 8.
Ответ: 8.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 3. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=3 получаем 6.
Ответ: 6.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=3 получаем 6.
Ответ: 6.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 2. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=2 получаем 4.
Ответ: 4.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=2 получаем 4.
Ответ: 4.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно . Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a= получаем 2.
Ответ: 2.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a= получаем 2.
Ответ: 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 24. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (24)/2 = 24.
Ответ: 24.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (24)/2 = 24.
Ответ: 24.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 22. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (22)/2 = 22.
Ответ: 22.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (22)/2 = 22.
Ответ: 22.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 20. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (20)/2 = 20.
Ответ: 20.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (20)/2 = 20.
Ответ: 20.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 18. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (18)/2 = 18.
Ответ: 18.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (18)/2 = 18.
Ответ: 18.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 16. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (16)/2 = 16.
Ответ: 16.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (16)/2 = 16.
Ответ: 16.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 14. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (14)/2 = 14.
Ответ: 14.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (14)/2 = 14.
Ответ: 14.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 12. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (12)/2 = 12.
Ответ: 12.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (12)/2 = 12.
Ответ: 12.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 10. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (10)/2 = 10.
Ответ: 10.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (10)/2 = 10.
Ответ: 10.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (8)/2 = 8.
Ответ: 8.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (8)/2 = 8.
Ответ: 8.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 6. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (6)/2 = 6.
Ответ: 6.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (6)/2 = 6.
Ответ: 6.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (4)/2 = 4.
Ответ: 4.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (4)/2 = 4.
Ответ: 4.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 2. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (2)/2 = 2.
Ответ: 2.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (2)/2 = 2.
Ответ: 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=9, SO=3, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=9, h=3: cos φ=2√913/913.
Ответ: 2√913/913.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=9, h=3: cos φ=2√913/913.
Ответ: 2√913/913.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=3, SO=9, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=9: cos φ=2√57/19.
Ответ: 2√57/19.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=9: cos φ=2√57/19.
Ответ: 2√57/19.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=12, SO=6, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=12, h=6: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=12, h=6: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=6, SO=12, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=12: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=12: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=5, SO=5, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=5, h=5: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=5, h=5: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=8, SO=4, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=8, h=4: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=8, h=4: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=4, SO=8, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=8: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=8: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=6, SO=3, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=3: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=3: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=3, SO=6, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=6: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=6: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=4, SO=2, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=2: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=2: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=2, SO=4, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=4: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=4: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=2, SO=2, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=2: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=2: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.