В правильной треугольной призме точки и — соответственно середины рёбер и . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
В правильной треугольной призме точка — середина ребра , а . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .