Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что . Через точки и проведена плоскость , перпендикулярная плоскости .
а) Докажите, что плоскость делит медиану в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Пусть — центр основания, . Из получаем . Проекции лежат на на четверти пути от к . След плоскости параллелен и пересекает медиану в , для которого . Поэтому , . Отношение (если считать от , отношение ).
Медиана , поэтому . Так как плоскость вертикальна, расстояние от до неё равно расстоянию от до следа, то есть .
Пусть — центр основания, . Из получаем . Проекции лежат на на четверти пути от к . След плоскости параллелен и пересекает медиану в , для которого . Поэтому , . Отношение (если считать от , отношение ).
Медиана , поэтому . Так как плоскость вертикальна, расстояние от до неё равно расстоянию от до следа, то есть .
Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что . Через точки и проведена плоскость , перпендикулярная плоскости .
а) Докажите, что плоскость делит медиану в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Пусть — пересечение с медианой , а — центр основания. Так как , имеем , а проекции делят отрезки в отношении от . В треугольнике положение их средней точки даёт . Поскольку , получаем , , то есть (если считать от , отношение ).
Медиана основания , поэтому . Плоскость вертикальна и её след параллелен , значит, расстояние от до неё равно .
Пусть — пересечение с медианой , а — центр основания. Так как , имеем , а проекции делят отрезки в отношении от . В треугольнике положение их средней точки даёт . Поскольку , получаем , , то есть (если считать от , отношение ).
Медиана основания , поэтому . Плоскость вертикальна и её след параллелен , значит, расстояние от до неё равно .
В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь нижнего основания в девять раз больше площади меньшего основания . Через ребро проведена плоскость , которая пересекает ребро в точке и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка делит ребро в отношении , считая от точки .
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью , если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
а) Пусть нижняя площадь , высота , . Полный объём . Нижняя часть имеет объём . Равенство половине даёт , значит, .
б) Нижняя сторона 9, высота нижнего треугольника . Проекция удалена от на этой высоты. Проекция удалена на . Высота над основанием . Высота треугольника равна . Площадь .
а) Пусть нижняя площадь , высота , . Полный объём . Нижняя часть имеет объём . Равенство половине даёт , значит, .
б) Нижняя сторона 9, высота нижнего треугольника . Проекция удалена от на этой высоты. Проекция удалена на . Высота над основанием . Высота треугольника равна . Площадь .
В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь нижнего основания в четыре раза больше площади меньшего основания . Через ребро проведена плоскость , которая пересекает ребро в точке и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка делит ребро в отношении , считая от точки .
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью , если высота пирамиды равна , а ребро меньшего основания равно .
а) Пусть площадь нижнего основания , высота усечённой пирамиды , . Площадь верхнего основания . Объём усечённой пирамиды . Нижняя часть — тетраэдр объёма . Равенство половине полного объёма даёт , поэтому .
б) Нижняя сторона , нижняя высота треугольника . Проекция на основание удалена от на . Поэтому проекция удалена на , а высота над основанием равна . Высота треугольника к стороне равна . Площадь .
а) Пусть площадь нижнего основания , высота усечённой пирамиды , . Площадь верхнего основания . Объём усечённой пирамиды . Нижняя часть — тетраэдр объёма . Равенство половине полного объёма даёт , поэтому .
б) Нижняя сторона , нижняя высота треугольника . Проекция на основание удалена от на . Поэтому проекция удалена на , а высота над основанием равна . Высота треугольника к стороне равна . Площадь .
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 5. На ребре отмечена точка , причём . Плоскость содержит точку и параллельна плоскости .
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка , а основанием — сечение пирамиды плоскостью .
Выберем , , , , , где . Тогда ; плоскость имеет уравнение . Сечение состоит из , , и . Стороны и параллельны, их длины 4 и 1, значит, это трапеция.
Расстояние между её основаниями . Площадь . Расстояние от до плоскости . Объём .
Выберем , , , , , где . Тогда ; плоскость имеет уравнение . Сечение состоит из , , и . Стороны и параллельны, их длины 4 и 1, значит, это трапеция.
Расстояние между её основаниями . Площадь . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .
а) Вектор : это следует из и . Так как плоскость содержит и направление , она содержит направление . Прямая не лежит в ней, поэтому параллельна ей.
б) Выберем , , , . Нормали к и можно выбрать , . Их скалярное произведение 124, длины 14 и . Косинус угла .
а) Вектор : это следует из и . Так как плоскость содержит и направление , она содержит направление . Прямая не лежит в ней, поэтому параллельна ей.
б) Выберем , , , . Нормали к и можно выбрать , . Их скалярное произведение 124, длины 14 и . Косинус угла .
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Обозначим вершину , центр основания . Образующая . Выбираем на окружности основания точки так, чтобы ; тогда , и . Искомое сечение — треугольник .
Пусть — середина . Тогда , , . Расстояние от до плоскости равно высоте из на в прямоугольном треугольнике : .
Обозначим вершину , центр основания . Образующая . Выбираем на окружности основания точки так, чтобы ; тогда , и . Искомое сечение — треугольник .
Пусть — середина . Тогда , , . Расстояние от до плоскости равно высоте из на в прямоугольном треугольнике : .
В правильной восьмиугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно 6. На ребре отмечена точка , так что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки и .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка , а основанием — сечение призмы плоскостью .
Положим , выберем , , , , , , . Направление параллельно . Плоскость через имеет уравнение . Сечение — , где лежит на . Основания и параллельны, боковые стороны , поэтому трапеция равнобедренная.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль имеет длину , поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Положим , выберем , , , , , , . Направление параллельно . Плоскость через имеет уравнение . Сечение — , где лежит на . Основания и параллельны, боковые стороны , поэтому трапеция равнобедренная.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль имеет длину , поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 3, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что , а .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .
Выберем , , . Тогда , . Скалярное произведение и равно .
Нормали к плоскостям можно выбрать и . Поэтому , откуда .
Выберем , , . Тогда , . Скалярное произведение и равно .
Нормали к плоскостям можно выбрать и . Поэтому , откуда .
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что , а .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .
Пусть . Выберем , , . Тогда , . Векторы и имеют скалярное произведение , значит, прямые перпендикулярны.
Нормаль к можно выбрать , а к — . Косинус острого угла между плоскостями , угол равен .
Пусть . Выберем , , . Тогда , . Векторы и имеют скалярное произведение , значит, прямые перпендикулярны.
Нормаль к можно выбрать , а к — . Косинус острого угла между плоскостями , угол равен .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 4, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами , . Длины боковых рёбер , , .
а) Докажите, что — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми и .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки . Прямая пересекает плоскость в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите объём пирамиды .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
В правильной треугольной призме точки и — соответственно середины рёбер и . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
В правильной треугольной призме точка — середина ребра , а . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник ; , .
а) Высота конуса равна h. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Грань ABCD куба является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник .
а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что M — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если высота пирамиды равна .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости .
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
В прямой пятиугольной призме высота равна , треугольник BCD — правильный со стороной 6, а четырёхугольник ABDE — равнобедренная трапеция со сторонами , и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота , , а четырёхугольник ABDE — прямоугольник со сторонами и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .