В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник ; , .
а) Высота конуса равна h. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Грань ABCD куба является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник .
а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что M — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если высота пирамиды равна .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости .
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
В прямой пятиугольной призме высота равна , треугольник BCD — правильный со стороной 6, а четырёхугольник ABDE — равнобедренная трапеция со сторонами , и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота , , а четырёхугольник ABDE — прямоугольник со сторонами и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 5 : 4.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 3 : 2.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 6. На ребре SA отмечена точка K такая, что KS = 1,5. Через точку K и середины рёбер BC и CD проведена плоскость .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой CS.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если .
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер BC и CD параллельно прямой SC проведена плоскость .
а) Докажите, что точка пересечения плоскости с ребром AS делит это ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если и .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
На рёбрах AB и A₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 1 : 2 и A₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TA₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = , AA₁ = 3.
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
На рёбрах AB и B₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 2 : 1 и B₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TB₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB является серединой отрезка AT.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = 42, AA₁ = .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP : AB = 3 : 4. На апофеме грани BCP отметили точку K, которая делит эту апофему в отношении 1 : 4, считая от точки P. Через точки A и K параллельно прямой BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна апофеме грани BCP.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3 AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 2 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
а) Опустим из и высоты и на основание призмы. Тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом .
Следовательно, , поэтому — середина ребра .
б) Площадь основания призмы равна . Из геометрии равнобедренной трапеции получаем высоту , а её средняя линия равна 3. Поэтому площадь .
а) Опустим из и высоты и на основание призмы. Тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом .
Следовательно, , поэтому — середина ребра .
б) Площадь основания призмы равна . Из геометрии равнобедренной трапеции получаем высоту , а её средняя линия равна 3. Поэтому площадь .
В правильной пирамиде SABC на стороне BC основания ABC и боковом ребре AS отметили соответственно точки P и K такие, что BP : PC = AK : KS = 2 : 1. Через точки P и K параллельно прямой AC провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разделила пирамиду SABC.
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка A, если AB = 6, AS = .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна , а боковое ребро AA₁ равно . На рёбрах AA₁, BB₁ и A₁C₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что AN : NA₁ = B₁K : KB = C₁P : PA₁ = 2 : 1. Плоскость KNP пересекает ребро B₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра B₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 6. На рёбрах BB₁, CC₁ и A₁B₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что CK : KC₁ = B₁N : NB = B₁P : PA₁ = 1 : 2. Плоскость KNP пересекает ребро A₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра A₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости ANK.
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 3 : 1, CF : FS = 3 : 13.
а) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK.
б) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS = 8.
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 1 : 2, CF : FS = 2 : 7.
а) Докажите, что плоскости ABC и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6.
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 4 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF₁ и α, если AB = 4, AA₁ = 15.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 3 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в такой точке N, что B₁N : NC₁ = 1 : 2.
б) Найдите угол между плоскостями EFF₁ и α, если AB = , AA₁ = 4.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём CF = 2FB.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : AS.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём BF = FC.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : PS.
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .