Тип 13. Уравнения повышенной сложности

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .

ОДЗ: . Пусть . Тогда , поэтому или . Получаем или , то есть или . Отбор даёт перечисленные пять корней.

ОДЗ: . При имеем . Уравнение даёт , то есть или . Отбор на указанном отрезке даёт и .

Разделим на и положим . Получаем , то есть . Корни и дают и . Оба лежат на заданном отрезке.

После деления на и замены получаем . Отсюда , или . Следовательно, или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Первый множитель равен нулю при , то есть или . Во втором , поэтому и . Отсюда или . На заданном отрезке остаются .

Первый множитель обращается в нуль при , откуда . Во втором множителе , поэтому и . Отсюда , . На данном отрезке остаются и .

Правая часть равна . Переносим влево и выносим : . При получаем . Иначе, положив , решаем ; допустимый корень . Отсюда или . На отрезке лежат .

Правая часть равна . После переноса . При имеем . Иначе с решаем : допустим только (второй корень больше 1). Отсюда или . На заданном отрезке лежат .

Используем . Левая часть равна . Поэтому либо : , или при целых параметрах. На отрезке остаются .

Используем . Исходное уравнение преобразуется:

, то есть .

Отсюда , либо , либо , где параметры целые.

На отрезке остаются корни .

ОДЗ: или . Корень первого множителя — . Для второго положим : откуда либо . Последний даёт вне ОДЗ; даёт . Из найденных корней на находится только .

ОДЗ квадратного корня: , то есть . Первый множитель равен нулю при . Во втором положим ; получаем , откуда либо . Значение даёт вне ОДЗ, а даёт . Все три допустимых корня лежат на отрезке .

Знаменатель равен , так что . Числитель . После сокращения получаем или . Корень нарушает ОДЗ; остаётся . Следовательно, либо , где . На указанном отрезке находятся .

ОДЗ: , то есть . По формулам и исходное уравнение равносильно при соблюдении ОДЗ. С получаем ; нарушает ОДЗ, остаётся . Значит или . На отрезке лежат .

ОДЗ: . Положим . Тогда и . Уравнение принимает вид и даёт или . Значит либо . Из них указанному отрезку принадлежат .

Область определения: . Положим . Тогда и . Уравнение становится ; его корни и . Отсюда либо . На указанном отрезке лежат три корня: .

Тождество при , даёт произведение косинусов . Уравнение равносильно . Значит или . Все решения: , , при целых n, k, m. На отрезке остаются .

Используем тождество . При , произведение двух синусов равно . Уравнение сводится к . Следовательно, либо . Все корни: и при целых n, k. На остаются .

Используем и . Получаем . При имеем , то есть или . Отсюда либо . На остаются .

а) Используем тождество при , а также . Получаем .

. Отсюда три серии решений: ; ; .

б) Отбирая корни на , получаем .