Тип 13. Уравнения повышенной сложности

Произведение синусов равно , его квадрат . Правая часть . Поэтому , или . Общие решения . На отрезке лежат .

Левая часть равна , правая — . Получаем . Поэтому , , . На отрезке остаются .

Первый множитель даёт . Второй равен , откуда . На отрезке лежат и .

Область определения . Первый множитель даёт , допустим только . Второй множитель обращается в ноль при , то есть . Допустим . На отрезке лежит только .

Используя , получаем . Общие решения , , . На отрезке остаются .

Уравнение равносильно . Поэтому или , где индексы целые. Отбор даёт .

При введём . Тогда и . Получаем , откуда . Это не даёт корней из печатного ключа. Примечание: для напечатанного уравнения ответы и , оба лежат на отрезке . Значения и из ключа соответствовали бы коэффициенту 16 вместо 4 перед вторым логарифмом.

Область определения: . При имеем , . Получаем , откуда или . Значит, или . На указанном отрезке лежит только .

После переноса влево и применения формулы двойного угла получаем . Отсюда , либо , либо , где индексы целые. На отрезке остаются .

Используем . После переноса влево получаем . Значит, или , где . На указанном отрезке лежат .

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .

ОДЗ: . Пусть . Тогда , поэтому или . Получаем или , то есть или . Отбор даёт перечисленные пять корней.

ОДЗ: . При имеем . Уравнение даёт , то есть или . Отбор на указанном отрезке даёт и .

Разделим на и положим . Получаем , то есть . Корни и дают и . Оба лежат на заданном отрезке.

После деления на и замены получаем . Отсюда , или . Следовательно, или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Первый множитель равен нулю при , то есть или . Во втором , поэтому и . Отсюда или . На заданном отрезке остаются .

Первый множитель обращается в нуль при , откуда . Во втором множителе , поэтому и . Отсюда , . На данном отрезке остаются и .

Правая часть равна . Переносим влево и выносим : . При получаем . Иначе, положив , решаем ; допустимый корень . Отсюда или . На отрезке лежат .

Правая часть равна . После переноса . При имеем . Иначе с решаем : допустим только (второй корень больше 1). Отсюда или . На заданном отрезке лежат .

Используем . Левая часть равна . Поэтому либо : , или при целых параметрах. На отрезке остаются .

Используем . Исходное уравнение преобразуется:

, то есть .

Отсюда , либо , либо , где параметры целые.

На отрезке остаются корни .