Тип 13. Уравнения повышенной сложности

Положим . Получаем . Следовательно, либо 1. Отсюда или . На отрезке остаются , , .

Положим . Получаем . Поэтому или , то есть либо . Отбор даёт , , .

Аргумент равен . Используем : , . Следовательно, . Отбор на отрезке даёт , , .

Аргумент логарифма должен равняться . После замены получаем , . Значит, . На отрезке подходят , что даёт корни из ответа.

Положим . Из получаем . Корни и ; второй невозможен. Поэтому . На указанном отрезке лежит только .

Так как , уравнение принимает вид . Его корни относительно : и . Первое значение невозможно. Поэтому или . На заданном отрезке подходят и .

Используем , , . Получаем . Отсюда или . На указанном отрезке остаются семь корней из ответа.

Получаем , то есть . Отсюда или . Отбор на указанном отрезке даёт семь значений, перечисленных в ответе.

Переносим всё в одну сторону и используем , . Получаем . Отсюда , , . На заданном отрезке подходят , , .

Так как и , уравнение равносильно . Оба множителя по модулю не превосходят 1. При синусе 1 получаем , и косинус действительно равен 1. При синусе −1 получается , но косинус равен 1, поэтому эта ветвь не подходит. На заданном отрезке .

Произведение синусов равно , его квадрат . Правая часть . Поэтому , или . Общие решения . На отрезке лежат .

Левая часть равна , правая — . Получаем . Поэтому , , . На отрезке остаются .

Первый множитель даёт . Второй равен , откуда . На отрезке лежат и .

Область определения . Первый множитель даёт , допустим только . Второй множитель обращается в ноль при , то есть . Допустим . На отрезке лежит только .

Используя , получаем . Общие решения , , . На отрезке остаются .

Уравнение равносильно . Поэтому или , где индексы целые. Отбор даёт .

а) Область определения: . Положим . Тогда , . Подстановка в напечатанное уравнение даёт , поэтому . Получаем и .
б) Из следует , поэтому ; при этом . Для второго корня , поэтому . Оба корня принадлежат отрезку .
Примечание: ответы и из таблицы соответствуют коэффициенту 16, а не напечатанному коэффициенту 4 перед вторым логарифмом. В ответ включены корни исходного уравнения.

Область определения: . При имеем , . Получаем , откуда или . Значит, или . На указанном отрезке лежит только .

После переноса влево и применения формулы двойного угла получаем . Отсюда , либо , либо , где индексы целые. На отрезке остаются .

Используем . После переноса влево получаем . Значит, или , где . На указанном отрезке лежат .

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .