Тип 12. Наибольшее и наименьшее значение функции

Экспонента положительна, квадрат неотрицателен. При , принадлежащем отрезку, значение равно нулю. Это минимум.

Производная равна . Экспонента положительна, поэтому при производная меняет знак с плюса на минус. Это точка максимума.

Производная . На данном отрезке она положительна слева от 1 и отрицательна справа. Максимум достигается при и равен .

Область определения: . Производная равна . При знак меняется с плюса на минус. Это точка максимума.

. При x=5 знак меняется с минуса на плюс, значит точка минимума — 5.

. На отрезке функция возрастает до x=−2 и затем убывает. Максимум .

. Максимум при x=0 равен 37.

. Функция убывает, минимум при x=0: y=77.

. Производная меняет знак с минуса на плюс при .

, минимум при . Значение равно .

. При производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума; при −30 максимум.

Область определения . Производная . При знак меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума; при −9 максимум.

. Функция убывает до 2, затем возрастает. Наименьшее значение .

. На отрезке функция возрастает до 2, затем убывает. Наибольшее значение .

. При производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума.

Область определения . Производная . При знак меняется с плюса на минус, это максимум; при — с минуса на плюс, это минимум.

. При производная меняет знак с минуса на плюс, при с плюса на минус. Точка минимума .

При производная . Она меняет знак с минуса на плюс при . Минимум , меньше значений на концах отрезка.

. Производная положительна до −4 и отрицательна после. Наибольшее значение .

Область определения . Производная . Она отрицательна до −3 и положительна после −3. Точка минимума .

. Функция возрастает до 7, затем убывает. Максимальное значение .

При имеем , . При производная меняется с плюса на минус, при −14 — с минуса на плюс. Точка максимума 14.

. При знак меняется с минуса на плюс. Это точка минимума.

. На отрезке функция возрастает до −1, затем убывает. Значения: , , . Максимум 18.

. Синус положителен в указанном промежутке. Производная меняет знак с плюса на минус при .

. Функция убывает, минимум достигается при и равен 7.

Экспонента положительна, квадрат неотрицателен. При , принадлежащем отрезку, значение равно нулю. Это минимум.

Производная равна . Экспонента положительна, поэтому при производная меняет знак с плюса на минус. Это точка максимума.

Производная . На данном отрезке она положительна слева от 1 и отрицательна справа. Максимум достигается при и равен .

Область определения: . Производная равна . При знак меняется с плюса на минус. Это точка максимума.

. При x=5 знак меняется с минуса на плюс, значит точка минимума — 5.

. На отрезке функция возрастает до x=−2 и затем убывает. Максимум .

. Максимум при x=0 равен 37.

. Функция убывает, минимум при x=0: y=77.

. Производная меняет знак с минуса на плюс при .

, минимум при . Значение равно .

Положим . Парабола имеет минимум при t=4,5, что соответствует . Минимум .

. При x=9 знак меняется с плюса на минус, значит это точка максимума.

. Минимум достигается при x=0 и равен 17.

. На указанном промежутке производная меняет знак с плюса на минус при .

. При производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

. На заданном отрезке минимум при . Сравнение с концами: , , . Ответ .

При имеем . Производная меняет знак с минуса на плюс при , то есть .

. При производная меняет знак с плюса на минус. Максимальное значение .

. Производная меняет знак с плюса на минус при , то есть .

, производная обращается в ноль при и меняет знак с минуса на плюс. .

. Функция возрастает до 7, затем убывает. Максимальное значение .

При имеем , . При производная меняется с плюса на минус, при −14 — с минуса на плюс. Точка максимума 14.

. При знак меняется с минуса на плюс. Это точка минимума.

. На отрезке функция возрастает до −1, затем убывает. Значения: , , . Максимум 18.

. Синус положителен в указанном промежутке. Производная меняет знак с плюса на минус при .

. Функция убывает, минимум достигается при и равен 7.

Экспонента положительна, квадрат неотрицателен. При , принадлежащем отрезку, значение равно нулю. Это минимум.

Производная равна . Экспонента положительна, поэтому при производная меняет знак с плюса на минус. Это точка максимума.

Производная . На данном отрезке она положительна слева от 1 и отрицательна справа. Максимум достигается при и равен .

Область определения: . Производная равна . При знак меняется с плюса на минус. Это точка максимума.

. При x=5 знак меняется с минуса на плюс, значит точка минимума — 5.

. На отрезке функция возрастает до x=−2 и затем убывает. Максимум .

. Максимум при x=0 равен 37.

. Функция убывает, минимум при x=0: y=77.

. Производная меняет знак с минуса на плюс при .

, минимум при . Значение равно .

Положим . Парабола имеет минимум при t=4,5, что соответствует . Минимум .

. При x=9 знак меняется с плюса на минус, значит это точка максимума.

. Минимум достигается при x=0 и равен 17.

. На указанном промежутке производная меняет знак с плюса на минус при .

. При производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

. На заданном отрезке минимум при . Сравнение с концами: , , . Ответ .

При имеем . Производная меняет знак с минуса на плюс при , то есть .

. При производная меняет знак с плюса на минус. Максимальное значение .

. Производная меняет знак с плюса на минус при , то есть .

, производная обращается в ноль при и меняет знак с минуса на плюс. .

При имеем . В точке производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

. Внутри отрезка критические точки (максимум) и 1 (минимум). Сравнение значений в этих точках и на концах даёт наименьшее .

. На указанном промежутке синус положителен, производная меняет знак с минуса на плюс при .

. Максимум достигается при и равен .

Для производная . Она меняет знак с плюса на минус при , то есть в точке .

Производная равна нулю при и отрицательна на . Значит, минимум на правом конце: .

Производная . Знак меняется с минуса на плюс при ; это точка минимума.

Положим . Тогда и . На отрезке критическая точка ; значения на концах равны −8 и −6,125, а при получаем −6. Это наибольшее значение.

Производная . Она положительна при и отрицательна при . Поэтому точка максимума .

. Производная равна . На отрезке функция убывает до , затем возрастает, поэтому минимум достигается при : .

. При x=5 знак меняется с минуса на плюс, значит точка минимума — 5.

. На отрезке функция возрастает до x=−2 и затем убывает. Максимум .

. Максимум при x=0 равен 37.

. Функция убывает, минимум при x=0: y=77.

. Производная меняет знак с минуса на плюс при .

, минимум при . Значение равно .

Положим . Парабола имеет минимум при t=4,5, что соответствует . Минимум .

. При x=9 знак меняется с плюса на минус, значит это точка максимума.

. Минимум достигается при x=0 и равен 17.

. На указанном промежутке производная меняет знак с плюса на минус при .

. При производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

. На заданном отрезке минимум при . Сравнение с концами: , , . Ответ .

При имеем . Производная меняет знак с минуса на плюс при , то есть .

. При производная меняет знак с плюса на минус. Максимальное значение .

. Производная меняет знак с плюса на минус при , то есть .

, производная обращается в ноль при и меняет знак с минуса на плюс. .

При имеем . В точке производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

. Внутри отрезка критические точки (максимум) и 1 (минимум). Сравнение значений в этих точках и на концах даёт наименьшее .

. На указанном промежутке синус положителен, производная меняет знак с минуса на плюс при .

. Максимум достигается при и равен .

Для производная . Она меняет знак с плюса на минус при , то есть в точке .

Производная равна нулю при и отрицательна на . Значит, минимум на правом конце: .

Производная . Знак меняется с минуса на плюс при ; это точка минимума.

Положим . Тогда и . На отрезке критическая точка ; значения на концах равны −8 и −6,125, а при получаем −6. Это наибольшее значение.

Производная . Она положительна при и отрицательна при . Поэтому точка максимума .

. Производная равна . На отрезке функция убывает до , затем возрастает, поэтому минимум достигается при : .

Производная меняет знак с минуса на плюс при . Проверка концов отрезка и этой точки даёт наименьшее значение .

Производная равна . На синус положителен: функция возрастает до и убывает после него. Точка максимума — 1,5.

На области функция равна . Производная меняет знак с плюса на минус при , поэтому это точка максимума.

При функция равна . Производная меняет знак с минуса на плюс при . Там минимум ; точка лежит на заданном отрезке.

На заданном отрезке . Производная меняет знак с плюса на минус при . Там функция принимает значение ; оно больше значений на концах отрезка.

При производная равна . Она меняет знак с минуса на плюс при , то есть при .

При имеем . Производная меняет знак с минуса на плюс при . Это точка минимума.

Область заданного отрезка лежит при . Производная обращается в ноль при и меняет знак с плюса на минус. Значение функции в этой точке: ; оно наибольшее.

Положим . На отрезке функция имеет вид ; производная меняет знак с плюса на минус при . Наибольшее значение равно 4.

Функция неотрицательна при всех . При она равна нулю, поэтому это точка глобального минимума.

y = 25x + 484/x, x ≠ 0.

y′ = 25 − 484/x². Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±4,4.

y″ = 968/x³. При x = 4,4 вторая производная положительна, значит это точка минимума.

Ответ: 4,4.

y = 25x + 324/x, x ≠ 0.

y′ = 25 − 324/x². Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,6.

y″ = 648/x³. При x = 3,6 вторая производная положительна, значит это точка минимума.

Ответ: 3,6.

y = 16x + 196/x, x ≠ 0.

y′ = 16 − 196/x². Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,5.

y″ = 392/x³. При x = 3,5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.

Ответ: 3,5.

y = 9x + 225/x, x ≠ 0.

y′ = 9 − 225/x². Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±5.

y″ = 450/x³. При x = 5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.

Ответ: 5.

y′ = e^{96 − x} − (x + 96)e^{96 − x} = (-95 − x)e^{96 − x}.

Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -95, поэтому это точка максимума.

Ответ: -95.

y′ = e^{19 − x} − (x + 19)e^{19 − x} = (-18 − x)e^{19 − x}.

Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -18, поэтому это точка максимума.

Ответ: -18.

y′ = e^{72 − x} − (x + 72)e^{72 − x} = (-71 − x)e^{72 − x}.

Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -71, поэтому это точка максимума.

Ответ: -71.

y′ = e^{45 − x} − (x + 45)e^{45 − x} = (-44 − x)e^{45 − x}.

Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -44, поэтому это точка максимума.

Ответ: -44.

y′ = −(69 − x)e^{68 − x} = (x − 69)e^{68 − x}.

Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 69. Это точка минимума.

Ответ: 69.

y′ = −(32 − x)e^{31 − x} = (x − 32)e^{31 − x}.

Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 32. Это точка минимума.

Ответ: 32.

y′ = −(105 − x)e^{104 − x} = (x − 105)e^{104 − x}.

Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 105. Это точка минимума.

Ответ: 105.

y′ = −(53 − x)e^{52 − x} = (x − 53)e^{52 − x}.

Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 53. Это точка минимума.

Ответ: 53.

y′ = 6(x + 5)(x + 1). Критические точки: x = -5 и x = -1.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 28, y(-5) = 42, y(-1) = -22, y(1) = 42.

Наименьшее из них равно -22.

Ответ: -22.

y′ = 6(x − 0)(x − 3). Критические точки: x = 0 и x = 3.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-1) = -5, y(0) = 6, y(3) = -21, y(5) = 31.

Наибольшее из них равно 31.

Ответ: 31.

y′ = 6(x + 2)(x − 5). Критические точки: x = -2 и x = 5.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -20, y(-2) = 80, y(5) = -263, y(7) = -163.

Наименьшее из них равно -263.

Ответ: -263.

y′ = 6(x + 4)(x − 2). Критические точки: x = -4 и x = 2.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 69, y(-4) = 157, y(2) = -59, y(4) = 29.

Наибольшее из них равно 157.

Ответ: 157.

y′ = 6(x − 1)(x − 5). Критические точки: x = 1 и x = 5.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(0) = 7, y(1) = 21, y(5) = -43, y(7) = 21.

Наименьшее из них равно -43.

Ответ: -43.

y′ = 6(x + 1)(x − 4). Критические точки: x = -1 и x = 4.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-3) = -53, y(-1) = 23, y(4) = -102, y(6) = -26.

Наибольшее из них равно 23.

Ответ: 23.

y′ = 6(x + 3)(x − 1). Критические точки: x = -3 и x = 1.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = 36, y(-3) = 50, y(1) = -14, y(4) = 148.

Наименьшее из них равно -14.

Ответ: -14.

y′ = 6(x + 2)(x − 3). Критические точки: x = -2 и x = 3.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -27, y(-2) = 49, y(3) = -76, y(5) = 0.

Наибольшее из них равно 49.

Ответ: 49.

y′ = −3/5 + 6. Производная обращается в ноль при = 10, то есть при x = 100.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = 96, y(225) = -4. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно -4.

Ответ: -4.

y′ = −3/8 + 3. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 39, y(144) = 7. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 7.

Ответ: 7.

y′ = − + 8. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = 59, y(144) = 5. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 5.

Ответ: 5.

y′ = −3/4 + 6. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 54, y(100) = 90. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 54.

Ответ: 54.

y′ = 3/5 − 6. Производная обращается в ноль при = 10, то есть при x = 100.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = -70, y(225) = 30. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 30.

Ответ: 30.

y′ = 3/8 − 3. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -22, y(144) = 10. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 10.

Ответ: 10.

y′ = − 8. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = -34, y(144) = 20. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 20.

Ответ: 20.

y′ = 3/4 − 6. Производная обращается в ноль при = 8, то есть при x = 64.

Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -14, y(100) = -50. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно -14.

Ответ: -14.

Область определения: x > −13.

y′ = 2x + 60/(x + 13) = 2(x + 10)(x + 3)/(x + 13).

Критические точки: x = -10 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -10 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.

Ответ: -3.

Область определения: x > −12.

y′ = 2x + 64/(x + 12) = 2(x + 8)(x + 4)/(x + 12).

Критические точки: x = -8 и x = -4. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -8 функция имеет максимум, а в точке x = -4 — минимум.

Ответ: -8.

Область определения: x > −11.

y′ = 2x + 36/(x + 11) = 2(x + 9)(x + 2)/(x + 11).

Критические точки: x = -9 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -9 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.

Ответ: -2.

Область определения: x > −10.

y′ = 2x + 42/(x + 10) = 2(x + 7)(x + 3)/(x + 10).

Критические точки: x = -7 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -7 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.

Ответ: -7.

Область определения: x > −9.

y′ = 2x + 36/(x + 9) = 2(x + 6)(x + 3)/(x + 9).

Критические точки: x = -6 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.

Ответ: -3.

Область определения: x > −8.

y′ = 2x + 24/(x + 8) = 2(x + 6)(x + 2)/(x + 8).

Критические точки: x = -6 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.

Ответ: -6.

Область определения: x > −7.

y′ = 2x + 20/(x + 7) = 2(x + 5)(x + 2)/(x + 7).

Критические точки: x = -5 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -5 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.

Ответ: -2.

Область определения: x > −6.

y′ = 2x + 16/(x + 6) = 2(x + 4)(x + 2)/(x + 6).

Критические точки: x = -4 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -4 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.

Ответ: -4.