Даны векторы a(2; −3) и b(−1; 4). Найдите скалярное произведение векторов a и b.
a·b = 2·(−1) + (−3)·4 = −2 − 12 = −14.
Ответ: −14.
a·b = 2·(−1) + (−3)·4 = −2 − 12 = −14.
Ответ: −14.
Даны векторы a(6; 8) и b(−5; 12). Найдите их скалярное произведение.
a·b = 6·(−5) + 8·12 = −30 + 96 = 66.
Ответ: 66.
a·b = 6·(−5) + 8·12 = −30 + 96 = 66.
Ответ: 66.
Даны векторы a=(2; 3) и b=(4; −1). Найдите скалярное произведение a·b.
a·b=2·4+3·(−1)=8−3=5.
Ответ: 5.
a·b=2·4+3·(−1)=8−3=5.
Ответ: 5.
Точки A(2; −3) и B(8; 5). Найдите длину вектора AB.
AB=(6;8). Его длина равна ==10.
Ответ: 10.
AB=(6;8). Его длина равна ==10.
Ответ: 10.
Даны векторы a=(3; −4) и b=(−1; 2). Найдите их скалярное произведение.
a·b=3·(−1)+(−4)·2=−3−8=−11.
Ответ: -11.
a·b=3·(−1)+(−4)·2=−3−8=−11.
Ответ: -11.
Даны векторы a(3; −2), b(1; 4) и c(c₀; 5). Найдите c₀, если a·(b + c) = 0.
b + c = (1 + c₀; 9).
a·(b + c) = 3(1 + c₀) − 2·9 = 0.
3 + 3c₀ − 18 = 0, откуда 3c₀ = 15 и c₀ = 5.
Ответ: 5.
b + c = (1 + c₀; 9).
a·(b + c) = 3(1 + c₀) − 2·9 = 0.
3 + 3c₀ − 18 = 0, откуда 3c₀ = 15 и c₀ = 5.
Ответ: 5.
Даны векторы a(−2; 5), b(4; −1) и c(3; c₀). Найдите c₀, если (a + b)·c = 0.
a + b = (2; 4).
(2; 4)·(3; c₀) = 2·3 + 4c₀ = 0.
6 + 4c₀ = 0, поэтому c₀ = −1,5.
Ответ: −1,5.
a + b = (2; 4).
(2; 4)·(3; c₀) = 2·3 + 4c₀ = 0.
6 + 4c₀ = 0, поэтому c₀ = −1,5.
Ответ: −1,5.
Даны векторы a(2; 1), b(−1; 2) и c(1; 4). Найдите длину вектора a − b + c.
a − b + c = (2 + 1 + 1; 1 − 2 + 4) = (4; 3).
Длина равна = 5.
Ответ: 5.
a − b + c = (2 + 1 + 1; 1 − 2 + 4) = (4; 3).
Длина равна = 5.
Ответ: 5.
Векторы a(x; 4) и b(2; −3) перпендикулярны. Найдите x.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
2x + 4·(−3) = 0, то есть 2x − 12 = 0.
x = 6.
Ответ: 6.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
2x + 4·(−3) = 0, то есть 2x − 12 = 0.
x = 6.
Ответ: 6.
Даны векторы a(3; −1) и b(−2; 4). Найдите длину вектора 2a − b.
2a − b = (6; −2) − (−2; 4) = (8; −6).
Длина равна √(8² + (−6)²) = √100 = 10.
Ответ: 10.
2a − b = (6; −2) − (−2; 4) = (8; −6).
Длина равна √(8² + (−6)²) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Даны векторы a(3; 4) и b(−4; 3). Найдите косинус угла между ними.
a·b = 3·(−4) + 4·3 = 0.
Следовательно, векторы перпендикулярны и косинус угла между ними равен 0.
Ответ: 0.
a·b = 3·(−4) + 4·3 = 0.
Следовательно, векторы перпендикулярны и косинус угла между ними равен 0.
Ответ: 0.
Даны векторы a(6; −1), b(−5; −2) и c(−3; 5). Найдите длину вектора a − b + c.
a − b + c = (6 + 5 − 3; −1 + 2 + 5) = (8; 6).
Длина равна = = 10.
Ответ: 10.
a − b + c = (6 + 5 − 3; −1 + 2 + 5) = (8; 6).
Длина равна = = 10.
Ответ: 10.
Даны векторы a(2; −5) и b(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов 0,5a и 2b.
(0,5a)·(2b) = a·b.
a·b = 2·5 + (−5)·7 = 10 − 35 = −25.
Ответ: −25.
(0,5a)·(2b) = a·b.
a·b = 2·5 + (−5)·7 = 10 − 35 = −25.
Ответ: −25.
Даны векторы a(5; −7) и b(−2; 4). Найдите их скалярное произведение.
a·b = 5·(−2) + (−7)·4 = −10 − 28 = −38.
Ответ: −38.
a·b = 5·(−2) + (−7)·4 = −10 − 28 = −38.
Ответ: −38.
Даны векторы a(−4; −7) и b(−3; −2). Найдите скалярное произведение векторов a и 2b.
2b = (−6; −4).
a·2b = (−4)·(−6) + (−7)·(−4) = 24 + 28 = 52.
Ответ: 52.
2b = (−6; −4).
a·2b = (−4)·(−6) + (−7)·(−4) = 24 + 28 = 52.
Ответ: 52.
Даны векторы a(4; −2) и b(−1; 5). Найдите скалярное произведение векторов a и a + 2b.
a + 2b = (4; −2) + (−2; 10) = (2; 8).
a·(a + 2b) = 4·2 + (−2)·8 = −8.
Ответ: −8.
a + 2b = (4; −2) + (−2; 10) = (2; 8).
a·(a + 2b) = 4·2 + (−2)·8 = −8.
Ответ: −8.
Даны векторы a(3; 4) и b(b₀; 6). Найдите b₀, если |b| = 2|a|. Если значений несколько, в ответе запишите большее.
|a| = 5, поэтому |b| = 10.
b₀² + 6² = 10², откуда b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Большее значение равно 8.
Ответ: 8.
|a| = 5, поэтому |b| = 10.
b₀² + 6² = 10², откуда b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Большее значение равно 8.
Ответ: 8.
Даны векторы a(2,2; −4) и b(−1,25; −1). Найдите скалярное произведение векторов 3a и 4b.
(3a)·(4b) = 12(a·b).
a·b = 2,2·(−1,25) + (−4)·(−1) = −2,75 + 4 = 1,25.
12·1,25 = 15.
Ответ: 15.
(3a)·(4b) = 12(a·b).
a·b = 2,2·(−1,25) + (−4)·(−1) = −2,75 + 4 = 1,25.
12·1,25 = 15.
Ответ: 15.
Даны векторы a(4; −3) и b(b₀; 6). Найдите b₀, если |b| = 2|a|. Если значений несколько, в ответе запишите большее.
|a| = 5, следовательно |b| = 10.
b₀² + 36 = 100, поэтому b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Большее значение равно 8.
Ответ: 8.
|a| = 5, следовательно |b| = 10.
b₀² + 36 = 100, поэтому b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Большее значение равно 8.
Ответ: 8.
Даны векторы a(3; 4) и b(−6; b₀). Найдите b₀, если |b| = 2|a|. Если значений несколько, в ответе запишите меньшее.
|a| = 5, поэтому |b| = 10.
36 + b₀² = 100, откуда b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Меньшее значение равно −8.
Ответ: −8.
|a| = 5, поэтому |b| = 10.
36 + b₀² = 100, откуда b₀² = 64 и b₀ = ±8.
Меньшее значение равно −8.
Ответ: −8.
Даны векторы a(−8; 6) и b(6; −8). Найдите косинус угла между ними.
a·b = (−8)·6 + 6·(−8) = −96.
|a| = |b| = = 10.
cos φ = −96/(10·10) = −0,96.
Ответ: −0,96.
a·b = (−8)·6 + 6·(−8) = −96.
|a| = |b| = = 10.
cos φ = −96/(10·10) = −0,96.
Ответ: −0,96.
Даны векторы a(−5;−2) и b(b₀;−1). Найдите b₀, если a·b = 0.
−5b₀ + 2 = 0. b₀ = 0,4.
−5b₀ + 2 = 0. b₀ = 0,4.
Даны векторы a(−3;−2) и b(3;b₀). Найдите b₀, если a·b = 0.
−9 − 2b₀ = 0. b₀ = −4,5.
−9 − 2b₀ = 0. b₀ = −4,5.
Даны векторы a(−8;0,5) и b(5;24). Найдите скалярное произведение a·b.
(−8)·5 + 0,5·24 = −40+12 = −28.
(−8)·5 + 0,5·24 = −40+12 = −28.
Даны векторы a(16;−0,4) и b(2;5). Найдите скалярное произведение a·b.
16·2 + (−0,4)·5 = 32 − 2 = 30.
16·2 + (−0,4)·5 = 32 − 2 = 30.
На координатной плоскости изображены векторы a и b, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора b−3a.
По графику: a=(4,1), b=(−1,3). b−3a = (−13, 0). |b−3a| = 13.
По графику: a=(4,1), b=(−1,3). b−3a = (−13, 0). |b−3a| = 13.
Даны векторы a(9;−8) и b(3;8). Найдите скалярное произведение векторов a и b.
a·b = 9·3 + (−8)·8 = 27 − 64 = −37.
a·b = 9·3 + (−8)·8 = 27 − 64 = −37.
Даны векторы (−4; 6) и (−2; −7). Найдите скалярное произведение · .
Решение.
· = (−4)(−2) + 6 · (−7) = 8 − 42 = −34.
Ответ: −34.
Решение.
· = (−4)(−2) + 6 · (−7) = 8 − 42 = −34.
Ответ: −34.
На координатной плоскости изображены векторы и , координаты у которых — целые числа. Найдите cos∠(; ).
Решение.
По графику определяем координаты: = (−2; −1), = (1; 2).
· = (−2) · 1 + (−1) · 2 = −2 − 2 = −4.
|| = = . || = = .
cos∠ = −4 / ( · ) = −4/5 = −0,8.
Примечание: координаты определяются по графику из условия.
Ответ: −0,8.
Решение.
По графику определяем координаты: = (−2; −1), = (1; 2).
· = (−2) · 1 + (−1) · 2 = −2 − 2 = −4.
|| = = . || = = .
cos∠ = −4 / ( · ) = −4/5 = −0,8.
Примечание: координаты определяются по графику из условия.
Ответ: −0,8.
Даны векторы (4; −3) и (7; 24). Найдите косинус угла между векторами и .
Решение.
· = 4 · 7 + (−3) · 24 = 28 − 72 = −44.
|| = = 5.
|| = = = 25.
cos∠ = −44 / (5 · 25) = −44/125 = −0,352.
Ответ: −0,352.
Решение.
· = 4 · 7 + (−3) · 24 = 28 − 72 = −44.
|| = = 5.
|| = = = 25.
cos∠ = −44 / (5 · 25) = −44/125 = −0,352.
Ответ: −0,352.
На координатной плоскости изображены векторы и , координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов 0,5 и .
Решение.
По графику определяем координаты: = (−2; 2), = (3; −1).
0,5 = (−1; 1).
0,5 · = (−1) · 3 + 1 · (−1) = −3 − 1 = −4.
Примечание: координаты определяются по графику из условия.
Ответ: −4.
Решение.
По графику определяем координаты: = (−2; 2), = (3; −1).
0,5 = (−1; 1).
0,5 · = (−1) · 3 + 1 · (−1) = −3 − 1 = −4.
Примечание: координаты определяются по графику из условия.
Ответ: −4.
На координатной плоскости изображены векторы и , координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов и 2.
Решение.
По графику определяем координаты: = (−1; 3), = (3; −1).
2 = (6; −2).
· 2 = (−1) · 6 + 3 · (−2) = −6 − 6 = −12.
Ответ: −12.
Решение.
По графику определяем координаты: = (−1; 3), = (3; −1).
2 = (6; −2).
· 2 = (−1) · 6 + 3 · (−2) = −6 − 6 = −12.
Ответ: −12.
Даны векторы (5; −6) и (−5; −9). Найдите длину вектора 2 − 5.
Решение.
2 − 5 = 2(−5; −9) − 5(5; −6) = (−10; −18) − (25; −30) = (−35; 12).
|2 − 5| = = = 37.
Ответ: 37.
Решение.
2 − 5 = 2(−5; −9) − 5(5; −6) = (−10; −18) − (25; −30) = (−35; 12).
|2 − 5| = = = 37.
Ответ: 37.
Даны векторы (−3; 2) и (−1; −9). Найдите длину вектора 3 − 2.
Решение.
3 − 2 = 3(−3; 2) − 2(−1; −9) = (−9; 6) − (−2; −18) = (−7; 24).
|3 − 2| = = = 25.
Ответ: 25.
Решение.
3 − 2 = 3(−3; 2) − 2(−1; −9) = (−9; 6) − (−2; −18) = (−7; 24).
|3 − 2| = = = 25.
Ответ: 25.
Найдите квадрат длины вектора 
Найдем длину вектора 
Следовательно, квадрат длины вектора 
равен 40.
Ответ: 40.
Найдем длину вектора
Следовательно, квадрат длины вектора равен 40.
Ответ: 40.
Найдите длину вектора 
Длина вектора определяется следующим выражением:
Ответ: 10.
Длина вектора определяется следующим выражением:
Ответ: 10.