Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону. 
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33. 
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции. 
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 3, . Найдите синус угла ACB. 
, поэтому .
, поэтому .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна . Найдите косинус угла ACB. 
. Угол ACB тупой, поэтому .
. Угол ACB тупой, поэтому .
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла. 
.
.
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции. 
.
.
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 8, . Найдите .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна , . Найдите .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. 
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Стороны AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ. 
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ. 
, поэтому .
, поэтому .
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии. 
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите её среднюю линию. 
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. 
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDE равна 72. 
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
В треугольнике ABC средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь трапеции ABED равна 36. 
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Найдите хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса . 
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах. 
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 116° и 38°. Ответ дайте в градусах. 
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол ACB равен 33°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. 
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, . Найдите AC. 
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В треугольнике ABC угол C равен 90°, , . Найдите . 
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол ABD равен 38°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC величиной . Угол ABD опирается на дугу AD величиной . Поэтому дуга DC равна 148°, а угол CAD равен её половине — 74°.
Угол ABC опирается на дугу ADC величиной . Угол ABD опирается на дугу AD величиной . Поэтому дуга DC равна 148°, а угол CAD равен её половине — 74°.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABD опирается на дугу AD величиной , а CAD — на дугу CD величиной . Угол ABC опирается на дугу ADC, поэтому .
Угол ABD опирается на дугу AD величиной , а CAD — на дугу CD величиной . Угол ABC опирается на дугу ADC, поэтому .
В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника. 
Площадь треугольника по стороне 20 и высоте 14 равна . Высота к стороне 16 равна .
Площадь треугольника по стороне 20 и высоте 14 равна . Высота к стороне 16 равна .
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. 
Высота к стороне 80 равна , а к стороне 60 — 3. Меньшая высота равна 2,25.
Высота к стороне 80 равна , а к стороне 60 — 3. Меньшая высота равна 2,25.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD. 
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны половине периметра: . Поэтому .
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны половине периметра: . Поэтому .
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 8 и CD = 14. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника. 
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: . Поэтому .
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: . Поэтому .
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 36°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Поскольку медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, , поэтому . Биссектриса CD образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Поскольку медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, , поэтому . Биссектриса CD образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
В прямоугольном треугольнике угол между высотой CH и CB равен . Биссектриса образует с CB угол 45°. Искомый угол .
В прямоугольном треугольнике угол между высотой CH и CB равен . Биссектриса образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5 : 3. Найдите меньшее основание трапеции. 
Пусть основания равны и . Их сумма равна 60. Диагональ делит среднюю линию на половины оснований, поэтому . Меньшее основание: .
Пусть основания равны и . Их сумма равна 60. Диагональ делит среднюю линию на половины оснований, поэтому . Меньшее основание: .
Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2 : 3. Найдите большее основание трапеции. 
Пусть основания трапеции равны и , причём . Средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому . Диагональ делит среднюю линию в отношении оснований, следовательно . Тогда .
Пусть основания трапеции равны и , причём . Средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому . Диагональ делит среднюю линию в отношении оснований, следовательно . Тогда .