Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому медиана образует с катетом угол, равный соответствующему острому углу треугольника: или . Биссектриса образует . Разность .
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому медиана образует с катетом угол, равный соответствующему острому углу треугольника: или . Биссектриса образует . Разность .
Один из углов прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Высота из вершины прямого угла составляет с катетом угол, равный одному из острых углов треугольника, то есть или . Биссектриса составляет с катетом . Разность .
Высота из вершины прямого угла составляет с катетом угол, равный одному из острых углов треугольника, то есть или . Биссектриса составляет с катетом . Разность .
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 
Данные углы не могут быть противоположными, так как их сумма не равна . Оставшиеся равны и . Больший угол .
Данные углы не могут быть противоположными, так как их сумма не равна . Оставшиеся равны и . Больший угол .
Площадь параллелограмма равна 145. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Четыре угловых треугольника, отсекаемых средними линиями, вместе занимают половину исходной площади. Площадь параллелограмма середин равна .
Четыре угловых треугольника, отсекаемых средними линиями, вместе занимают половину исходной площади. Площадь параллелограмма середин равна .
В четырёхугольник вписана окружность, , и . Найдите четвёртую сторону четырёхугольника. 
В описанном четырёхугольнике , поэтому .
В описанном четырёхугольнике , поэтому .
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности. 
В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть половине периметра 50. Меньшая боковая сторона, равная высоте, равна . Высота равна диаметру вписанной окружности, поэтому .
В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть половине периметра 50. Меньшая боковая сторона, равная высоте, равна . Высота равна диаметру вписанной окружности, поэтому .
В треугольнике средняя линия параллельна стороне . Найдите площадь треугольника , если площадь трапеции равна 48. 
Треугольник подобен с коэффициентом , поэтому его площадь составляет полной. Трапеция занимает площади, значит, .
Треугольник подобен с коэффициентом , поэтому его площадь составляет полной. Трапеция занимает площади, значит, .
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.
Второй катет . Площадь .
Второй катет . Площадь .
Радиус окружности, описанной около треугольника , равен . Найдите , если угол равен . 
По расширенной теореме синусов .
По расширенной теореме синусов .
Градусная мера дуги окружности, не содержащей точку , равна . Градусная мера дуги окружности, не содержащей точку , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, равен половине разности соответствующих дуг: .
Угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, равен половине разности соответствующих дуг: .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Через концы и дуги окружности с центром проведены касательные и . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
В четырёхугольник вписана окружность, , . Найдите периметр четырёхугольника . 
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В треугольнике высота равна 6, , . Найдите синус угла . 
Из и получаем .
Из и получаем .
В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов и равна . Поэтому .
Сумма углов и равна . Поэтому .
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен . 
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Сторона ромба равна 10, острый угол равен . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом угол между биссектрисой и медианой равен . Найдите меньший угол треугольника . Ответ дайте в градусах. 
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и медианой , проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону. 
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33. 
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции. 
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 3, . Найдите синус угла ACB. 
, поэтому .
, поэтому .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна . Найдите косинус угла ACB. 
. Угол ACB тупой, поэтому .
. Угол ACB тупой, поэтому .
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла. 
.
.
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции. 
.
.
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 8, . Найдите .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна , . Найдите .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. 
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Стороны AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ. 
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ. 
, поэтому .
, поэтому .
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии. 
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .