Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому медиана образует с катетом угол, равный соответствующему острому углу треугольника: или . Биссектриса образует . Разность .
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому медиана образует с катетом угол, равный соответствующему острому углу треугольника: или . Биссектриса образует . Разность .
Один из углов прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Высота из вершины прямого угла составляет с катетом угол, равный одному из острых углов треугольника, то есть или . Биссектриса составляет с катетом . Разность .
Высота из вершины прямого угла составляет с катетом угол, равный одному из острых углов треугольника, то есть или . Биссектриса составляет с катетом . Разность .
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 
Данные углы не могут быть противоположными, так как их сумма не равна . Оставшиеся равны и . Больший угол .
Данные углы не могут быть противоположными, так как их сумма не равна . Оставшиеся равны и . Больший угол .
Площадь параллелограмма равна 145. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Четыре угловых треугольника, отсекаемых средними линиями, вместе занимают половину исходной площади. Площадь параллелограмма середин равна .
Четыре угловых треугольника, отсекаемых средними линиями, вместе занимают половину исходной площади. Площадь параллелограмма середин равна .
В четырёхугольник вписана окружность, , и . Найдите четвёртую сторону четырёхугольника. 
В описанном четырёхугольнике , поэтому .
В описанном четырёхугольнике , поэтому .
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности. 
В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть половине периметра 50. Меньшая боковая сторона, равная высоте, равна . Высота равна диаметру вписанной окружности, поэтому .
В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть половине периметра 50. Меньшая боковая сторона, равная высоте, равна . Высота равна диаметру вписанной окружности, поэтому .
В треугольнике средняя линия параллельна стороне . Найдите площадь треугольника , если площадь трапеции равна 48. 
Треугольник подобен с коэффициентом , поэтому его площадь составляет полной. Трапеция занимает площади, значит, .
Треугольник подобен с коэффициентом , поэтому его площадь составляет полной. Трапеция занимает площади, значит, .
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.
Второй катет . Площадь .
Второй катет . Площадь .
Радиус окружности, описанной около треугольника , равен . Найдите , если угол равен . 
По расширенной теореме синусов .
По расширенной теореме синусов .
Градусная мера дуги окружности, не содержащей точку , равна . Градусная мера дуги окружности, не содержащей точку , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, равен половине разности соответствующих дуг: .
Угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, равен половине разности соответствующих дуг: .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Через концы и дуги окружности с центром проведены касательные и . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
В четырёхугольник вписана окружность, , . Найдите периметр четырёхугольника . 
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В треугольнике высота равна 6, , . Найдите синус угла . 
Из и получаем .
Из и получаем .
В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов и равна . Поэтому .
Сумма углов и равна . Поэтому .
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен . 
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Сторона ромба равна 10, острый угол равен . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом угол между биссектрисой и медианой равен . Найдите меньший угол треугольника . Ответ дайте в градусах. 
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и медианой , проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону. 
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33. 
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции. 
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 3, . Найдите синус угла ACB. 
, поэтому .
, поэтому .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна . Найдите косинус угла ACB. 
. Угол ACB тупой, поэтому .
. Угол ACB тупой, поэтому .
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла. 
.
.
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции. 
.
.
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 8, . Найдите .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна , . Найдите .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. 
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Стороны AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ. 
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ. 
, поэтому .
, поэтому .
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии. 
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают . Поэтому .
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Углы и опираются на одну дугу , поэтому . Тогда .
Через концы и дуги окружности с центром проведены касательные и . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
, поэтому . Треугольник равнобедренный, и угол .
В четырёхугольник вписана окружность, , . Найдите периметр четырёхугольника . 
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В описанном четырёхугольнике . Периметр равен .
В треугольнике высота равна 6, , . Найдите синус угла . 
Из и получаем .
Из и получаем .
В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов и равна . Поэтому .
Сумма углов и равна . Поэтому .
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен . 
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: . С другой стороны, . Поэтому сторона .
Сторона ромба равна 10, а один из углов этого ромба равен . Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб. 
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
Площадь ромба равна , полупериметр равен 20. Из находим .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом угол между биссектрисой и медианой равен . Найдите меньший угол треугольника . Ответ дайте в градусах. 
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Так как , угол равен углу . Биссектриса образует с угол . Следовательно, , и острые углы треугольника равны и . Меньший равен .
Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и медианой , проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Середина гипотенузы равноудалена от её концов и вершины прямого угла: . Поэтому . Из прямоугольного треугольника получаем . Искомый угол равен .
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону. 
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33. 
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции. 
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 3, . Найдите синус угла ACB. 
, поэтому .
, поэтому .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна . Найдите косинус угла ACB. 
. Угол ACB тупой, поэтому .
. Угол ACB тупой, поэтому .
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла. 
.
.
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции. 
.
.
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 8, . Найдите .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна , . Найдите .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. 
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Стороны AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ. 
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ. 
, поэтому .
, поэтому .
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии. 
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите её среднюю линию. 
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. 
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDE равна 72. 
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
В треугольнике ABC средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь трапеции ABED равна 36. 
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Найдите хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса . 
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах. 
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 116° и 38°. Ответ дайте в градусах. 
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол ACB равен 33°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. 
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, . Найдите AC. 
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В треугольнике ABC угол C равен 90°, , . Найдите . 
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону. 
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Каждая биссектриса отсекает на противоположной стороне отрезок, равный меньшей стороне. Их общая точка делит большую сторону на два таких отрезка. Поэтому большая сторона равна .
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33. 
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна 3/7 большей. Если большая сторона L, то , откуда L=11,55.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Если меньшая сторона ℓ, то , значит ℓ=14. Высота . Середина большего основания равноудалена от всех вершин на 14: до верхней вершины . Радиус равен 14.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции. 
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
Вписанная трапеция равнобедренная. Сумма оснований 22, поэтому боковая сторона .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 3, . Найдите синус угла ACB. 
, поэтому .
, поэтому .
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что , высота AH равна . Найдите косинус угла ACB. 
. Угол ACB тупой, поэтому .
. Угол ACB тупой, поэтому .
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла. 
.
.
Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции. 
.
.
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна 8, . Найдите .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
Углы BAC и ABC равны, поэтому .
В треугольнике ABC известно, что , высота AH равна , . Найдите .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Углы BAC и ABC равны. В прямоугольном треугольнике ABH , поэтому .
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. 
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Сумма долей 36, одна доля равна 10°. Угол BAD опирается на дугу BCD величиной , поэтому равен 55°.
Стороны AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Угол ABC опирается на дугу ADC, равную . Вписанный угол равен половине дуги: .
Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ. 
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Пусть меньшая диагональ x. Тогда , откуда .
Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ. 
, поэтому .
, поэтому .
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии. 
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и составляет половину периметра — 15. Средняя линия равна 7,5.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований 11, средняя линия .
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите её среднюю линию. 
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Горизонтальная проекция каждой диагонали равна средней линии m. Из перпендикулярности диагоналей . Поэтому .
Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. 
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: .
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDE равна 72. 
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
Площадь треугольника ABE равна четверти площади параллелограмма. Поэтому .
В треугольнике ABC средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь трапеции ABED равна 36. 
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Площадь трапеции составляет площади ABC, поэтому .
Найдите хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса . 
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Хорда, соответствующая вписанному углу 135°, стягивает малый центральный угол 90°. Поэтому её длина .
Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах. 
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Для хорды длиной и радиуса острый центральный угол θ удовлетворяет , значит . Тупой вписанный угол опирается на дополнительную дугу и равен 120°.
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 116° и 38°. Ответ дайте в градусах. 
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол между двумя секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому .
Угол ACB равен 33°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. 
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
Угол между секущими из точки C равен половине разности дуг AB и DE. Поэтому и дуга DE равна 36°. Вписанный угол DAE опирается на неё, следовательно, равен 18°.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, . Найдите AC. 
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В прямоугольном треугольнике . Тогда , .
В треугольнике ABC угол C равен 90°, , . Найдите . 
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
В прямоугольном треугольнике — гипотенуза. Из получаем . По теореме Пифагора .
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол ABD равен 38°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABC опирается на дугу ADC величиной . Угол ABD опирается на дугу AD величиной . Поэтому дуга DC равна 148°, а угол CAD равен её половине — 74°.
Угол ABC опирается на дугу ADC величиной . Угол ABD опирается на дугу AD величиной . Поэтому дуга DC равна 148°, а угол CAD равен её половине — 74°.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 
Угол ABD опирается на дугу AD величиной , а CAD — на дугу CD величиной . Угол ABC опирается на дугу ADC, поэтому .
Угол ABD опирается на дугу AD величиной , а CAD — на дугу CD величиной . Угол ABC опирается на дугу ADC, поэтому .
В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника. 
Площадь треугольника по стороне 20 и высоте 14 равна . Высота к стороне 16 равна .
Площадь треугольника по стороне 20 и высоте 14 равна . Высота к стороне 16 равна .
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. 
Высота к стороне 80 равна , а к стороне 60 — 3. Меньшая высота равна 2,25.
Высота к стороне 80 равна , а к стороне 60 — 3. Меньшая высота равна 2,25.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD. 
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны половине периметра: . Поэтому .
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны половине периметра: . Поэтому .
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 8 и CD = 14. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника. 
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: . Поэтому .
Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: . Поэтому .
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 36°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Поскольку медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, , поэтому . Биссектриса CD образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Поскольку медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, , поэтому . Биссектриса CD образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
В прямоугольном треугольнике угол между высотой CH и CB равен . Биссектриса образует с CB угол 45°. Искомый угол .
В прямоугольном треугольнике угол между высотой CH и CB равен . Биссектриса образует с CB угол 45°. Искомый угол .
Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5 : 3. Найдите меньшее основание трапеции. 
Пусть основания равны и . Их сумма равна 60. Диагональ делит среднюю линию на половины оснований, поэтому . Меньшее основание: .
Пусть основания равны и . Их сумма равна 60. Диагональ делит среднюю линию на половины оснований, поэтому . Меньшее основание: .
Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2 : 3. Найдите большее основание трапеции. 
Пусть основания трапеции равны и , причём . Средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому . Диагональ делит среднюю линию в отношении оснований, следовательно . Тогда .
Пусть основания трапеции равны и , причём . Средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому . Диагональ делит среднюю линию в отношении оснований, следовательно . Тогда .
Вписанный угол опирается на дугу величиной 140°. Найдите величину этого вписанного угла.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: 140°/2=70°.
Ответ: 70.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: 140°/2=70°.
Ответ: 70.
Основание параллелограмма равно 12, а высота, проведённая к этому основанию, равна 7. Найдите площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма S=ah=12·7=84.
Ответ: 84.
Площадь параллелограмма S=ah=12·7=84.
Ответ: 84.
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Найдите корень уравнения .
Так как , получаем , то есть и .
Так как , получаем , то есть и .
Найдите корень уравнения .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
Найдите корень уравнения .
, откуда , .
, откуда , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому , .
, поэтому , .
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 68°. Найдите угол C.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Поэтому ∠C=180°−68°=112°.
Ответ: 112.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Поэтому ∠C=180°−68°=112°.
Ответ: 112.
Основание равнобедренного треугольника равно 16, а высота, проведённая к основанию, равна 6. Найдите боковую сторону.
Высота делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, поэтому боковая сторона равна =10.
Ответ: 10.
Высота делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, поэтому боковая сторона равна =10.
Ответ: 10.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15, а один из катетов равен 9. Найдите второй катет.
По теореме Пифагора второй катет равен ==12.
Ответ: 12.
По теореме Пифагора второй катет равен ==12.
Ответ: 12.
Стороны AB, BC, CD и AD вписанного четырёхугольника стягивают дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 80°, 110°, 100° и 70°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC опирается на дугу ADC, не содержащую точку B.
Градусная мера этой дуги равна 70° + 100° = 170°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ABC = 170°/2 = 85°.
Ответ: 85.
Угол ABC опирается на дугу ADC, не содержащую точку B.
Градусная мера этой дуги равна 70° + 100° = 170°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ABC = 170°/2 = 85°.
Ответ: 85.
Площадь ромба равна 32. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ ромба.
Пусть меньшая диагональ равна x, тогда большая диагональ равна 4x.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
32 = x·4x/2 = 2x².
x² = 16, поэтому x = 4.
Ответ: 4.
Пусть меньшая диагональ равна x, тогда большая диагональ равна 4x.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
32 = x·4x/2 = 2x².
x² = 16, поэтому x = 4.
Ответ: 4.
Основания трапеции равны 26 и 42. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.
(42 − 26)/2 = 8.
Ответ: 8.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.
(42 − 26)/2 = 8.
Ответ: 8.
В треугольнике ABC отрезок DE является средней линией и параллелен стороне AB. Площадь треугольника ABC равна 52. Найдите площадь треугольника CDE.
Треугольники CDE и CBA подобны с коэффициентом 1/2.
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: SCDE = 52·(1/2)² = 13.
Ответ: 13.
Треугольники CDE и CBA подобны с коэффициентом 1/2.
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: SCDE = 52·(1/2)² = 13.
Ответ: 13.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 4, cos A = 3/5. Найдите AC.
sin A = = 4/5, поэтому tg A = (4/5)/(3/5) = 4/3.
tg A = BC/AC, значит 4/AC = 4/3 и AC = 3.
Ответ: 3.
sin A = = 4/5, поэтому tg A = (4/5)/(3/5) = 4/3.
tg A = BC/AC, значит 4/AC = 4/3 и AC = 3.
Ответ: 3.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, sin A = 0,6. Найдите AC.
AB — гипотенуза. cos A = = = 0,8.
AC = AB·cos A = 10·0,8 = 8.
Ответ: 8.
AB — гипотенуза. cos A = = = 0,8.
AC = AB·cos A = 10·0,8 = 8.
Ответ: 8.
Точки A, B, C и D расположены на окружности и делят её на четыре дуги. Градусные величины дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 4 : 5 : 3 : 6. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Сумма частей равна 4 + 5 + 3 + 6 = 18.
Угол BAD опирается на дугу BCD, которой соответствуют 5 + 3 = 8 частей.
Дуга BCD равна 360°·8/18 = 160°.
Вписанный угол равен половине дуги: ∠BAD = 80°.
Ответ: 80.
Сумма частей равна 4 + 5 + 3 + 6 = 18.
Угол BAD опирается на дугу BCD, которой соответствуют 5 + 3 = 8 частей.
Дуга BCD равна 360°·8/18 = 160°.
Вписанный угол равен половине дуги: ∠BAD = 80°.
Ответ: 80.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Площадь трапеции BCDE равна 72. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Пусть площадь параллелограмма равна S. Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что и параллелограмм.
Поэтому SABE = S/4, а SBCDE = 3S/4.
3S/4 = 72, откуда S = 96.
Ответ: 96.
Пусть площадь параллелограмма равна S. Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что и параллелограмм.
Поэтому SABE = S/4, а SBCDE = 3S/4.
3S/4 = 72, откуда S = 96.
Ответ: 96.
Найдите длину хорды, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса 3.
Вписанный угол 135° опирается на дугу 270°, поэтому соответствующий центральный угол, образованный меньшей дугой, равен 90°.
Длина хорды равна 2R·sin45° = 2·3·/2 = 6.
Ответ: 6.
Вписанный угол 135° опирается на дугу 270°, поэтому соответствующий центральный угол, образованный меньшей дугой, равен 90°.
Длина хорды равна 2R·sin45° = 2·3·/2 = 6.
Ответ: 6.
Из точки C вне окружности проведены две секущие CDB и CEA. Вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги, градусные меры которых равны соответственно 124° и 46°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Дуги AB и DE равны 124° и 46°.
Угол между двумя секущими равен половине разности соответствующих дуг:
∠ACB = (124° − 46°)/2 = 39°.
Ответ: 39.
Дуги AB и DE равны 124° и 46°.
Угол между двумя секущими равен половине разности соответствующих дуг:
∠ACB = (124° − 46°)/2 = 39°.
Ответ: 39.
Из точки C вне окружности проведены две секущие CDB и CEA. Угол ACB равен 37°, а дуга AB, не содержащая точек D и E, равна 118°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Для угла между двумя секущими: ∠ACB = 1/2(дуга AB − дуга DE).
37 = 1/2(118 − дуга DE), поэтому дуга DE = 44°.
Вписанный угол DAE опирается на дугу DE и равен её половине: 44°/2 = 22°.
Ответ: 22.
Для угла между двумя секущими: ∠ACB = 1/2(дуга AB − дуга DE).
37 = 1/2(118 − дуга DE), поэтому дуга DE = 44°.
Вписанный угол DAE опирается на дугу DE и равен её половине: 44°/2 = 22°.
Ответ: 22.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 104°, угол ABD равен 31°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 104° = 76°.
Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD, значит ∠ACD = 31°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 76° − 31° = 73°.
Ответ: 73.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 104° = 76°.
Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD, значит ∠ACD = 31°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 76° − 31° = 73°.
Ответ: 73.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD.
AB+CD = BC+DA. 2(AB+CD)=36. CD = 18−7 = 11.
AB+CD = BC+DA. 2(AB+CD)=36. CD = 18−7 = 11.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 8 и CD = 14. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
AB+CD = BC+DA. 10+14 = 8+DA. DA = 16.
AB+CD = BC+DA. 10+14 = 8+DA. DA = 16.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 36°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
∠ACM=54° (медиана к гипотенузе). ∠ACD=45°. Угол = 54°−45° = 9°.
∠ACM=54° (медиана к гипотенузе). ∠ACD=45°. Угол = 54°−45° = 9°.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
∠ACH = B = 67°. Биссектриса ∠C: ∠ACD = 45°. Угол HCD = 67° − 45° = 22°.
∠ACH = B = 67°. Биссектриса ∠C: ∠ACD = 45°. Угол HCD = 67° − 45° = 22°.
Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5:3. Найдите меньшее основание трапеции.
a:b=5:3, a+b=60. Меньшее: 3/8·60 = 22,5.
a:b=5:3, a+b=60. Меньшее: 3/8·60 = 22,5.
Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.
a:b = 2:3, a+b = 48. Большее: 3/5·48 = 28,8.
a:b = 2:3, a+b = 48. Большее: 3/5·48 = 28,8.
В треугольнике ABC угол B равен 74°. Найдите угол AOC, где O — центр вписанной окружности. Ответ дайте в градусах.
∠AOC = 90° + B/2 = 90° + 37° = 127°.
∠AOC = 90° + B/2 = 90° + 37° = 127°.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 54° и 78°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. C=180°−54°=126°, D=180°−78°=102°. Больший: 126.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. C=180°−54°=126°, D=180°−78°=102°. Больший: 126.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 48° и 74°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение.
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Возможные дополнения: 180° − 48° = 132° и 180° − 74° = 106°.
Больший из оставшихся: 132°.
Ответ: 132.
Решение.
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Возможные дополнения: 180° − 48° = 132° и 180° − 74° = 106°.
Больший из оставшихся: 132°.
Ответ: 132.
В треугольнике ABC высота AH равна 4, AB = BC, AC = 25. Найдите косинус угла CAB.
Решение.
AB = BC — треугольник равнобедренный. Высота AH на сторону BC.
По теореме синусов: sin(∠CAB) = BC · sin B / AC. Из прямоугольного △AHB: sin B = AH/AB = 4/AB.
sin(∠CAB) = AB · (4/AB) / 25 = 4/25.
cos(∠CAB) = = = 23/25 = 0,92.
Ответ: 0,92.
Решение.
AB = BC — треугольник равнобедренный. Высота AH на сторону BC.
По теореме синусов: sin(∠CAB) = BC · sin B / AC. Из прямоугольного △AHB: sin B = AH/AB = 4/AB.
sin(∠CAB) = AB · (4/AB) / 25 = 4/25.
cos(∠CAB) = = = 23/25 = 0,92.
Ответ: 0,92.
В треугольнике ABC высота AH равна 13, AB = BC, AC = 20. Найдите синус угла CAB.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC.
В прямоугольном треугольнике AHB: sin(∠ABH) = AH/AB = 13/AB.
По теореме синусов: sin(∠CAB)/BC = sin(∠ABC)/AC.
Так как AB = BC, получаем: sin(∠CAB) = BC · sin(∠ABC)/AC = AB · (13/AB)/20 = 13/20 = 0,65.
Ответ: 0,65.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC.
В прямоугольном треугольнике AHB: sin(∠ABH) = AH/AB = 13/AB.
По теореме синусов: sin(∠CAB)/BC = sin(∠ABC)/AC.
Так как AB = BC, получаем: sin(∠CAB) = BC · sin(∠ABC)/AC = AB · (13/AB)/20 = 13/20 = 0,65.
Ответ: 0,65.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFB, если угол ABC равен 72°. Ответ дайте в градусах.
Решение.
∠BAC = ∠BCA = (180° − 72°)/2 = 54°.
AF — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAF = 54°/2 = 27°.
F лежит на стороне BC. В треугольнике ABF:
∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 27° − 72° = 81°.
Ответ: 81.
Решение.
∠BAC = ∠BCA = (180° − 72°)/2 = 54°.
AF — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAF = 54°/2 = 27°.
F лежит на стороне BC. В треугольнике ABF:
∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 27° − 72° = 81°.
Ответ: 81.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFC, если угол ABC равен 76°. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 76°)/2 = 52°.
AF — биссектриса угла BAC, значит ∠FAC = 52°/2 = 26°.
В треугольнике AFC: ∠AFC = 180° − ∠FAC − ∠ACF = 180° − 26° − 52° = 102°.
Ответ: 102.
Решение.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 76°)/2 = 52°.
AF — биссектриса угла BAC, значит ∠FAC = 52°/2 = 26°.
В треугольнике AFC: ∠AFC = 180° − ∠FAC − ∠ACF = 180° − 26° − 52° = 102°.
Ответ: 102.
В треугольнике ABC AC = BC, AH — высота, AB = 8, 
Найдите BH.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда
Ответ: 4.
Приведем решение Евгения Шведова.
По условию 
значит, 
и треугольник ABC — равносторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно, 
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда
Ответ: 4.
Приведем решение Евгения Шведова.
По условию значит, и треугольник ABC — равносторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно,
В треугольнике ABC AC = BC = 5, 
Найдите АВ.
Решение.
Треугольник АВС — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:
Ответ: 9,6.
Решение.
Треугольник АВС — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:
Ответ: 9,6.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, 
Найдите AH.
Решение.
Имеем:
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем 
значит, 
откуда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Пусть 
тогда 
следовательно,
откуда 
что не подходит, или
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда 
Из треугольника ACH имеем 
Из треугольника BCH имеем 
Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
Решение.
Имеем:
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем значит, откуда По свойству прямоугольного треугольника Пусть тогда следовательно,
откуда что не подходит, или
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда Из треугольника ACH имеем Из треугольника BCH имеем Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
В треугольнике ABC угол C равен 90°, 
Найдите 
Зная, что 
найдем косинус
Далее имеем:
Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением косинуса: 
то есть 
откуда 
Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса 
а по условию 
следовательно, 
откуда 
Применим теорему Пифагора:
Зная, что найдем косинус
Далее имеем:
Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением косинуса: то есть откуда
Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса а по условию следовательно, откуда Применим теорему Пифагора:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 15.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P на стороне CD.
Поскольку ∠A + ∠B = 180°, то ∠A/2 + ∠B/2 = 90°, биссектрисы перпендикулярны в P.
Из свойства биссектрисы и параллельных прямых: DP = AD = b и PC = BC = b.
Значит CD = DP + PC = 2b. Но CD = AB = a, следовательно a = 2b.
Периметр: 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 15 ⟹ b = 2,5.
Ответ: 2,5.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P на стороне CD.
Поскольку ∠A + ∠B = 180°, то ∠A/2 + ∠B/2 = 90°, биссектрисы перпендикулярны в P.
Из свойства биссектрисы и параллельных прямых: DP = AD = b и PC = BC = b.
Значит CD = DP + PC = 2b. Но CD = AB = a, следовательно a = 2b.
Периметр: 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 15 ⟹ b = 2,5.
Ответ: 2,5.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 42.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, ∠A — тупой. Биссектриса из A пересекает CD в точке E.
Так как AB ∥ CD, по свойству биссектрисы и равных углов (накрест лежащие) треугольник ADE — равнобедренный, DE = AD = b.
DC = a (большая сторона). EC = a − b.
DE:EC = 3:4 (от вершины острого угла D): b/(a − b) = 3/4.
4b = 3a − 3b ⟹ 7b = 3a ⟹ a = 7b/3.
Периметр: 2(a + b) = 2(7b/3 + b) = 20b/3 = 42 ⟹ b = 6,3.
a = 7 · 6,3/3 = 14,7.
Ответ: 14,7.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, ∠A — тупой. Биссектриса из A пересекает CD в точке E.
Так как AB ∥ CD, по свойству биссектрисы и равных углов (накрест лежащие) треугольник ADE — равнобедренный, DE = AD = b.
DC = a (большая сторона). EC = a − b.
DE:EC = 3:4 (от вершины острого угла D): b/(a − b) = 3/4.
4b = 3a − 3b ⟹ 7b = 3a ⟹ a = 7b/3.
Периметр: 2(a + b) = 2(7b/3 + b) = 20b/3 = 42 ⟹ b = 6,3.
a = 7 · 6,3/3 = 14,7.
Ответ: 14,7.