Тип 1. Планиметрия

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: 140°/2=70°.

Ответ: 70.

Площадь параллелограмма S=ah=12·7=84.

Ответ: 84.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Поэтому ∠C=180°−68°=112°.

Ответ: 112.

Высота делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, поэтому боковая сторона равна √(8²+6²)=10.

Ответ: 10.

По теореме Пифагора второй катет равен √(15²−9²)=√144=12.

Ответ: 12.

Угол ABC опирается на дугу ADC, не содержащую точку B.

Градусная мера этой дуги равна 70° + 100° = 170°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ABC = 170°/2 = 85°.

Ответ: 85.

Пусть меньшая диагональ равна x, тогда большая диагональ равна 4x.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

32 = x·4x/2 = 2x².

x² = 16, поэтому x = 4.

Ответ: 4.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.

(42 − 26)/2 = 8.

Ответ: 8.

Треугольники CDE и CBA подобны с коэффициентом 1/2.

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: S_CDE = 52·(1/2)² = 13.

Ответ: 13.

sin A = √(1 − cos²A) = 4/5, поэтому tg A = (4/5)/(3/5) = 4/3.

tg A = BC/AC, значит 4/AC = 4/3 и AC = 3.

Ответ: 3.

AB — гипотенуза. cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 0,36) = 0,8.

AC = AB·cos A = 10·0,8 = 8.

Ответ: 8.

Сумма частей равна 4 + 5 + 3 + 6 = 18.

Угол BAD опирается на дугу BCD, которой соответствуют 5 + 3 = 8 частей.

Дуга BCD равна 360°·8/18 = 160°.

Вписанный угол равен половине дуги: ∠BAD = 80°.

Ответ: 80.

Пусть площадь параллелограмма равна S. Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что и параллелограмм.

Поэтому S_ABE = S/4, а S_BCDE = 3S/4.

3S/4 = 72, откуда S = 96.

Ответ: 96.

Вписанный угол 135° опирается на дугу 270°, поэтому соответствующий центральный угол, образованный меньшей дугой, равен 90°.

Длина хорды равна 2R·sin45° = 2·3√2·√2/2 = 6.

Ответ: 6.

Дуги AB и DE равны 124° и 46°.

Угол между двумя секущими равен половине разности соответствующих дуг:

∠ACB = (124° − 46°)/2 = 39°.

Ответ: 39.

Для угла между двумя секущими: ∠ACB = 1/2(дуга AB − дуга DE).

37 = 1/2(118 − дуга DE), поэтому дуга DE = 44°.

Вписанный угол DAE опирается на дугу DE и равен её половине: 44°/2 = 22°.

Ответ: 22.

Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 104° = 76°.

Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD, значит ∠ACD = 31°.

В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 76° − 31° = 73°.

Ответ: 73.

AB+CD = BC+DA. 2(AB+CD)=36. CD = 18−7 = 11.

AB+CD = BC+DA. 10+14 = 8+DA. DA = 16.

∠ACM=54° (медиана к гипотенузе). ∠ACD=45°. Угол = 54°−45° = 9°.

∠ACH = B = 67°. Биссектриса ∠C: ∠ACD = 45°. Угол HCD = 67° − 45° = 22°.

a:b=5:3, a+b=60. Меньшее: 3/8·60 = 22,5.

a:b = 2:3, a+b = 48. Большее: 3/5·48 = 28,8.

∠AOC = 90° + B/2 = 90° + 37° = 127°.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. C=180°−54°=126°, D=180°−78°=102°. Больший: 126.

Решение.

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Возможные дополнения: 180° − 48° = 132° и 180° − 74° = 106°.

Больший из оставшихся: 132°.

Ответ: 132.

Решение.

AB = BC — треугольник равнобедренный. Высота AH на сторону BC.

По теореме синусов: sin(∠CAB) = BC · sin B / AC. Из прямоугольного △AHB: sin B = AH/AB = 4√6/AB.

sin(∠CAB) = AB · (4√6/AB) / 25 = 4√6/25.

cos(∠CAB) = √(1 − 96/625) = √(529/625) = 23/25 = 0,92.

Ответ: 0,92.

Решение.

Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC.

В прямоугольном треугольнике AHB: sin(∠ABH) = AH/AB = 13/AB.

По теореме синусов: sin(∠CAB)/BC = sin(∠ABC)/AC.

Так как AB = BC, получаем: sin(∠CAB) = BC · sin(∠ABC)/AC = AB · (13/AB)/20 = 13/20 = 0,65.

Ответ: 0,65.

Решение.

∠BAC = ∠BCA = (180° − 72°)/2 = 54°.

AF — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAF = 54°/2 = 27°.

F лежит на стороне BC. В треугольнике ABF:

∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 27° − 72° = 81°.

Ответ: 81.

Решение.

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 76°)/2 = 52°.

AF — биссектриса угла BAC, значит ∠FAC = 52°/2 = 26°.

В треугольнике AFC: ∠AFC = 180° − ∠FAC − ∠ACF = 180° − 26° − 52° = 102°.

Ответ: 102.

Решение.

Треугольник ABC  — равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда

Ответ: 4.

Приведем решение Евгения Шведова.

По условию значит, и треугольник ABC  — равносторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно,

Решение.

Треугольник АВС  — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:

Ответ: 9,6.

Решение.

Имеем:

Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).

Из треугольника ACH найдем значит, откуда По свойству прямоугольного треугольника Пусть тогда следовательно,

откуда что не подходит, или

Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).

Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда Из треугольника ACH имеем Из треугольника BCH имеем Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим

Зная, что найдем косинус угла A:

Далее имеем:

Решение.

Пусть ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P на стороне CD.

Поскольку ∠A + ∠B = 180°, то ∠A/2 + ∠B/2 = 90°, биссектрисы перпендикулярны в P.

Из свойства биссектрисы и параллельных прямых: DP = AD = b и PC = BC = b.

Значит CD = DP + PC = 2b. Но CD = AB = a, следовательно a = 2b.

Периметр: 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 15 ⟹ b = 2,5.

Ответ: 2,5.

Решение.

Пусть ABCD — параллелограмм, ∠A — тупой. Биссектриса из A пересекает CD в точке E.

Так как AB ∥ CD, по свойству биссектрисы и равных углов (накрест лежащие) треугольник ADE — равнобедренный, DE = AD = b.

DC = a (большая сторона). EC = a − b.

DE:EC = 3:4 (от вершины острого угла D): b/(a − b) = 3/4.

4b = 3a − 3b ⟹ 7b = 3a ⟹ a = 7b/3.

Периметр: 2(a + b) = 2(7b/3 + b) = 20b/3 = 42 ⟹ b = 6,3.

a = 7 · 6,3/3 = 14,7.

Ответ: 14,7.