Тип 18. Задача с параметром

Пусть t=cos x∈[−1;1]. Требуется . Нечётность позволяет рассмотреть 0≤t≤1. Значение при t=1 даёт −1≤a≤1. Минимум внутри при равен . Условие минимума ≥−1 равносильно . Поэтому .

Пусть t=sin x∈[−1;1]. Требуется . Функция нечётна, достаточно 0≤t≤1. В точке t=1 получаем −2≤a≤0. Внутренний минимум при равен . Он не меньше −1 тогда и только тогда, когда , то есть . Совместно получаем указанный отрезок.

Разделив на , положим . Из получаем t=1/5. При a=2 корней нет. Для 0<a<2 корень положителен; условие x≤1 равносильно a/2≤1/5. При a>2 корень отрицателен; условие x≥−3 равносильно a/2≥∛5. Ответ .

Разделив на , положим . Уравнение даёт t=1/3. При a=4 решений нет. Чтобы корень x был отрицательным, нужно a>4. Условие равносильно . Ответ .

Корень x=−a допустим при , то есть или . При x≠−a сокращаем множитель и возводим в квадрат: . При a=0 корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда допустим и совпадает с −a только при a=−2. Два различных корня имеются при , a≠−2, либо a>0.

Корень x=−a допустим при , то есть или . Для x≠−a сокращаем , затем возводим в квадрат: . При a=0 все x допустимы, корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда удовлетворяет уравнению; он совпадает с −a только при a=−5. Ровно один корень получается при a=−5 либо −1<a<0.

ОДЗ квадратного корня: или . Возможные корни , и, при a≠4, . Первые два допустимы при и . Третий корень проверяем по ОДЗ; совпадения возникают при a=16/3 и a=58/7. Подсчёт даёт .

ОДЗ квадратного корня: или . Возможные корни: , и, при a≠−5, . Первые два допустимы соответственно при и . Третий должен лежать на ОДЗ; совпадения с первыми происходят при и . Подсчёт различных допустимых корней по этим границам даёт .

При первое уравнение имеет корни и . Второе после возведения в квадрат имеет кандидатов , ; оба допустимы при и . Чередование требует . Эти условия дают и автоматически обеспечивают допустимость обоих корней.

Первое уравнение имеет два корня только при : и . После возведения второго уравнения в квадрат получаем , где . Оба корня допустимы при . Строгое чередование требует , то есть и . Последнее условие при выполнено; первое даёт .

Положим , тогда . Получаем . Четыре решения исходной системы означают два различных положительных корня t. Требования: , и . Их пересечение .

Положим , тогда , а . Каждый положительный корень t даёт два решения, нулевой — одно. Единственный положительный простой корень без нулевого второго получается при . Двойной положительный корень возникает при ; второе значение нулевого дискриминанта даёт отрицательный t. Ответ .

Аргумент логарифма должен равняться 1. Корни квадратного уравнения и . Знаменатель требует . Первый корень допустим при , второй при . Ровно один допустим при или , а при корни совпадают и также дают одно решение.

Числитель равен нулю, если аргумент логарифма равен 1. Получаем корни и . Знаменатель требует . Первый корень допустим при , второй при . Один допустимый корень имеется при либо при совпадении корней .

При : ; при : . Два корня нужного знака на каждой ветви возможны при . Дискриминанты и должны быть положительными, поэтому исключаем 0,8 и 3,2.

При : ; при : . Для двух положительных и двух отрицательных корней нужно , то есть . Дискриминанты равны и , поэтому исключаем .

Используем . Множество решений первого уравнения состоит из квадрата , отрезков , и четырёх четвертей окружностей при , . При прямая пересекает квадрат и даёт бесконечно много решений либо дополнительные граничные пересечения. Подсчёт остальных пересечений даёт одно или два решения ровно при .

ОДЗ: . При уравнение имеет вид ; при — . Подсчёт пересечений верхней полуокружности с прямыми с учётом неотрицательности правой части даёт один корень при либо . При правая часть на отрицательной ветви равна , поэтому единственный допустимый корень . В таблице ответов сборника левая граница ошибочно исключена.

ОДЗ: . Уравнение равносильно . На двух участках и исследуем значения этой функции. Единственное пересечение с горизонтальной прямой получается при либо при её общем максимуме , достигаемом в .

ОДЗ: . Перенесём слагаемые: . На участках , и исследуем функцию . На среднем участке ровно одно пересечение возникает при касании ; на внешних участках ровно один корень имеется при . При уравнение невозможно.

Применим при положительном v. Первое уравнение принимает вид . Его множество решений включает заполненный прямоугольник и внешние дуги окружностей. Прямая касается прямоугольника при ; при большем модуле она даёт бесконечно много решений. Касание с внешней дугой окружности с центром и радиусом 10 задаётся . Малый положительный корень . Симметрия даёт отрицательный порог . Ровно две точки пересечения получаются при .

Используем тождество . Первое уравнение превращается в . Его множество решений содержит прямоугольник , а вне него состоит из дуг окружностей и отрезков. Прямая касается прямоугольника при ; при меньшем модуле она пересекает внутренность и даёт бесконечно много решений. На внешних дугах порог касания определяется расстоянием от центра или до прямой: . Нетривиальное решение даёт . Между порогами прямая пересекает графическую часть ровно в двух точках; при внешнем пороге они сливаются. Поэтому .

Подстановка в окружность даёт дискриминант . Две различные точки получаются при ; даёт лишь одну точку. При условие равносильно . Левая часть раскладывается как . Второй множитель положителен, поэтому .

Подстановка прямой в уравнение окружности даёт квадратное уравнение по x. Его дискриминант . Ровно две различные точки пересечения существуют при . При окружность вырождается в одну точку. Для условие равносильно , или . Второй множитель всегда положителен, поэтому .

После подстановки обозначим . Из множителя под корнем всегда получаем одно решение . Другие решения удовлетворяют и ; совпадение корня Q с b не создаёт нового решения. Дискриминант , а . При ровно один корень Q лежит правее b; при второй корень совпадает с b, а первый лежит правее. При и Q имеет по одному двойному допустимому корню, отличному от b. Во всех остальных случаях дополнительных допустимых корней либо нет, либо два. Значит ответ .

Первое уравнение выполняется либо при , либо при с ограничением или .

После подстановки первая ветвь даёт . Для второй ветви получаем ; её дискриминант равен .

С учётом числа корней, ограничений на и возможного совпадения корня первой ветви с корнем квадратного уравнения последовательно получаем: , а также отдельные значения и . Только при этих параметрах система имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение равносильно с дополнительным условием . Из второго уравнения после подстановки получаются четыре точки: и . Последняя пара допустима при , первая — при . Ровно два решения есть при .

Первое уравнение после возведения в квадрат даёт при условии , то есть . Подставляя во второе уравнение, получаем . При допустимо ; при имеем . Каждое такое ненулевое x даёт два различных y. Первая пара допустима при , вторая — при . Ровно две точки получаются при .

Если первое неравенство не имеет решений. При его диск вырождается в точку , но она не удовлетворяет . При диск имеет центр и радиус . Максимум на нём равен . Пересечение с полуплоскостью состоит ровно из одной точки, когда прямая касается диска: . Для равенство невозможно; для имеем , откуда с учётом знака правой части . Напечатанное в таблице ответов значение 5 не удовлетворяет второму неравенству и потому исключено.

При первое неравенство не имеет решений. При его круг вырождается в точку , удовлетворяющую второму неравенству, поэтому решение единственно. При первое неравенство задаёт диск с центром и радиусом . Второе задаёт полуплоскость . Их пересечение — единственная точка ровно когда ограничивающая прямая касается диска снаружи, то есть . При это равносильно ; после учёта неотрицательности правой части остаётся . При получаем и то же значение. Ответ: −3 и 1,5.

После выделения квадратов первое уравнение превращается в . Это окружность с центром и радиусом . Второе уравнение задаёт четыре луча: из точки вправо по прямым и ; из точки влево по прямым и . Для правых лучей два характерных радиуса: расстояние от O до прямой равно , а до общей начальной точки — . Для левых лучей ближайшая к O точка — их общая вершина на расстоянии 12,5. Подсчёт пересечений даёт четыре различных решения ровно при или . Подстановка даёт четыре промежутка в ответе. Граничные значения исключены из-за касания либо общей вершины двух лучей.

Первое уравнение после выделения квадратов задаёт окружность с центром и радиусом . Второе уравнение — четыре луча: и из точки влево, а также и из точки вправо. Для левых лучей расстояния от O до несущих прямых равны и ; расстояние до их общей начальной точки равно . Для правых лучей наименьшее расстояние до O равно расстоянию до точки — . Соответствующие пороги для равны . Подсчёт пересечений окружности с четырьмя лучами даёт ровно два при или . На порогах возникает касание либо совпадение в общей вершине, и число решений уже не равно двум. Записываем симметричные по знаку a интервалы.

Положим . Тогда и . Первое уравнение становится . На функция строго убывает от 5 до −7. При функция строго возрастает от −7 до бесконечности. Две различные точки пересечения горизонтали с графиком существуют ровно при .

Из второго уравнения , и . Первое становится . При получаем — строго возрастающую ветвь со значениями от −3 до 3. При получаем — строго убывающую ветвь со значениями от 3 до минус бесконечности. Горизонтальная прямая уровня a пересекает обе ветви в различных точках тогда и только тогда, когда . При ветви сходятся в одной точке .

На графике синяя линия — прямая, красная — график функции с модулем. При точки пересечения имеют абсциссы и ; высота между графиками при x=0 равна . Площадь равна , поэтому даёт . При точки пересечения и ; высота равна , площадь . Из получаем . При замкнутой области нет.

При графики пересекаются при и . Ограниченная фигура — треугольник с основанием и высотой , поэтому . Условие даёт .

При точки пересечения имеют абсциссы и ; основание треугольника равно , высота — . Поэтому . Из получаем .

При ограниченной фигуры нет. Ответ: .