Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке .
Область определения: , . Корни возможны при или при , то есть . Первый корень допустим при . Второй лежит на отрезке и удовлетворяет области определения при . Они совпадают при . Поэтому ровно один корень получается при .
Область определения: , . Корни возможны при или при , то есть . Первый корень допустим при . Второй лежит на отрезке и удовлетворяет области определения при . Они совпадают при . Поэтому ровно один корень получается при .
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
Область определения: , , . Значит, . При корень существует тогда и только тогда, когда . При делим на ненулевой корень и приравниваем аргументы логарифмов: . Получаем . Этот кандидат допустим при и . При он совпадает с , а при даёт второй корень. Ровно один корень получается при .
Область определения: , , . Значит, . При корень существует тогда и только тогда, когда . При делим на ненулевой корень и приравниваем аргументы логарифмов: . Получаем . Этот кандидат допустим при и . При он совпадает с , а при даёт второй корень. Ровно один корень получается при .
Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.
Первое уравнение равносильно . При решений нет; при равенстве единственная точка не лежит на прямой. Для положительного радиуса одно решение соответствует касанию прямой . Центр , квадрат расстояния до прямой . Условие касания даёт . Оба значения подходят.
Первое уравнение равносильно . При решений нет; при равенстве единственная точка не лежит на прямой. Для положительного радиуса одно решение соответствует касанию прямой . Центр , квадрат расстояния до прямой . Условие касания даёт . Оба значения подходят.
Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.
Первое уравнение задаёт окружность . При решений нет. При получаем одну точку, не лежащую на прямой . При остальных значениях ровно одно решение получается при касании. Центр окружности имеет сумму координат , поэтому квадрат расстояния до прямой равен . Приравниваем его квадрату радиуса: . Получаем . Оба значения и дают положительный радиус и касание.
Первое уравнение задаёт окружность . При решений нет. При получаем одну точку, не лежащую на прямой . При остальных значениях ровно одно решение получается при касании. Центр окружности имеет сумму координат , поэтому квадрат расстояния до прямой равен . Приравниваем его квадрату радиуса: . Получаем . Оба значения и дают положительный радиус и касание.
Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство верно при всех действительных значениях x.
Пусть t=cos x∈[−1;1]. Требуется . Нечётность позволяет рассмотреть 0≤t≤1. Значение при t=1 даёт −1≤a≤1. Минимум внутри при равен . Условие минимума ≥−1 равносильно . Поэтому .
Пусть t=cos x∈[−1;1]. Требуется . Нечётность позволяет рассмотреть 0≤t≤1. Значение при t=1 даёт −1≤a≤1. Минимум внутри при равен . Условие минимума ≥−1 равносильно . Поэтому .
Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство верно при всех действительных значениях x.
Пусть t=sin x∈[−1;1]. Требуется . Функция нечётна, достаточно 0≤t≤1. В точке t=1 получаем −2≤a≤0. Внутренний минимум при равен . Он не меньше −1 тогда и только тогда, когда , то есть . Совместно получаем указанный отрезок.
Пусть t=sin x∈[−1;1]. Требуется . Функция нечётна, достаточно 0≤t≤1. В точке t=1 получаем −2≤a≤0. Внутренний минимум при равен . Он не меньше −1 тогда и только тогда, когда , то есть . Совместно получаем указанный отрезок.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых корни уравнения принадлежат отрезку .
Разделив на , положим . Из получаем t=1/5. При a=2 корней нет. Для 0<a<2 корень положителен; условие x≤1 равносильно a/2≤1/5. При a>2 корень отрицателен; условие x≥−3 равносильно a/2≥∛5. Ответ .
Разделив на , положим . Из получаем t=1/5. При a=2 корней нет. Для 0<a<2 корень положителен; условие x≤1 равносильно a/2≤1/5. При a>2 корень отрицателен; условие x≥−3 равносильно a/2≥∛5. Ответ .
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых корни уравнения принадлежат отрезку .
Разделив на , положим . Уравнение даёт t=1/3. При a=4 решений нет. Чтобы корень x был отрицательным, нужно a>4. Условие равносильно . Ответ .
Разделив на , положим . Уравнение даёт t=1/3. При a=4 решений нет. Чтобы корень x был отрицательным, нужно a>4. Условие равносильно . Ответ .
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.
Корень x=−a допустим при , то есть или . При x≠−a сокращаем множитель и возводим в квадрат: . При a=0 корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда допустим и совпадает с −a только при a=−2. Два различных корня имеются при , a≠−2, либо a>0.
Корень x=−a допустим при , то есть или . При x≠−a сокращаем множитель и возводим в квадрат: . При a=0 корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда допустим и совпадает с −a только при a=−2. Два различных корня имеются при , a≠−2, либо a>0.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
Корень x=−a допустим при , то есть или . Для x≠−a сокращаем , затем возводим в квадрат: . При a=0 все x допустимы, корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда удовлетворяет уравнению; он совпадает с −a только при a=−5. Ровно один корень получается при a=−5 либо −1<a<0.
Корень x=−a допустим при , то есть или . Для x≠−a сокращаем , затем возводим в квадрат: . При a=0 все x допустимы, корней бесконечно много. При a≠0 кандидат всегда удовлетворяет уравнению; он совпадает с −a только при a=−5. Ровно один корень получается при a=−5 либо −1<a<0.