В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если и .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
Основание трапеции в два раза меньше основания . Внутри трапеции взята точка так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до основания равно .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, , а и .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, , а и .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной на AB. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что E и F лежат на прямой IJ.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то .
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если , то окружность пересекает сторону BC в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка BC, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2 : 1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано 0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано 0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5, r = 3.
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD — в точке L, причём AK : KC = 1 : 3, BL : LD = 2 : 1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если .
Возьмём , , , , где . Тогда , , . Прямая MN пересекает BC в точке , поэтому .
Из следует , то есть . Поэтому . При получаем .
Возьмём , , , , где . Тогда , , . Прямая MN пересекает BC в точке , поэтому .
Из следует , то есть . Поэтому . При получаем .