В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне BC отмечена точка D такая, что BD = AB/3. Через точку D проведена прямая, параллельная AB, пересекающая сторону AC в точке E.
а) Докажите, что DE = AB/3.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABDE, если AB = 12, BC = 8.
В треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 9, BC = 12. На продолжении катета BA за точку A отмечена точка D так, что AD = 5. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная CD, пересекающая прямую BC в точке E.
а) Докажите, что точки A, B, D, E лежат на одной окружности.
б) Найдите DE.
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно.
а) Докажите, что MH = NH.
б) Найдите MN, если AB = 10 и ∠ABC = 120°.
В четырёхугольнике ABCD углы A и C — прямые, AB = 3, CD = 12, BC = 4.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
В треугольнике ABC ∠BAC = 90°. На стороне BC отмечена точка D, а на отрезке AD — точка E такие, что ∠BAE = ∠BCA и ∠ACE = ∠ABC.
а) Докажите, что треугольники ABE и ACD подобны.
б) Найдите AD, если AB = 3, AC = 4.
Дан прямоугольник ABCD. Точка E — середина стороны CD. На стороне BC отмечена точка F такая, что ∠AEF = 90°.
а) Докажите, что AE — биссектриса угла DAF.
б) Найдите BF, если AB = 12, BC = 16.
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Через точки A и D проведена окружность, касающаяся прямой BC в точке B.
а) Докажите, что AB — биссектриса угла DAE... нет. Докажите, что треугольник ABD равнобедренный.
б) Найдите CE, если AE = 2, BE = 6, DE = 3.
В ромбе ABCD точка E — середина стороны BC. Прямая AE пересекает прямую DC в точке F.
а) Докажите, что CF = CD/2.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEF и ABE, если ∠BAD = 60°.
В трапеции ABCD с основаниями BC = 5 и AD = 8 прямые AB и CD пересекаются в точке E.
а) Докажите, что треугольники EBC и EAD подобны.
б) Найдите площадь треугольника EBC, если площадь трапеции ABCD равна 39.
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Прямая BI пересекает сторону AC в точке D.
а) Докажите, что AD/DC = AB/BC.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AB = 7, BC = 5, AC = 8.
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и C, а вторую — в точках B и D соответственно.
а) Докажите, что AB ∥ CD.
б) Найдите AB, если радиусы окружностей равны 4 и 9, а CD = 18.
В остроугольном треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — основания высот, проведённых из вершин A, B и C соответственно.
а) Докажите, что ∠B₁A₁C₁ = 180° − 2∠A.
б) Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если AB = 13, BC = 14, CA = 15.
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что CE = DF. Отрезки AE и BF пересекаются в точке P.
а) Докажите, что ∠APB = 90°.
б) Найдите площадь треугольника APB, если AB = 6, CE = 2.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая боковые стороны AB и CD в точках E и F.
а) Докажите, что OE = OF.
б) Найдите EF, если BC = 6 и AD = 10.
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Через точку M проведена прямая, параллельная AB, пересекающая сторону BC в точке K.
а) Докажите, что K — середина BC.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABKM, если AB = 12, BC = 10, ∠ABC = 60°.
В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка K, а на стороне BC — точка L так, что AK : KB = 1 : 3, BL : LC = 3 : 1. Отрезки AL и CK пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника KBLO равна площади треугольника AOC.
б) Найдите отношение CO : OK.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка E такая, что AE = AB. Прямая BE пересекает сторону CD в точке F.
а) Докажите, что BF ⊥ AC, если ABCD — ромб.
б) Найдите CF, если AB = 6, BC = 4, ∠BAC = 90°.
Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) описана окружность. Касательная к окружности в точке B пересекает прямую AC в точке D.
а) Докажите, что BD² = DA · DC.
б) Найдите BD, если AB = 5 и AC = 6.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, пересекающиеся в точке H.
а) Докажите, что ∠A₁HC₁ = ∠ABC.
б) Найдите A₁C₁, если AC = 10 и ∠ABC = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете BC отмечена точка D такая, что AD = AB/2. Окружность, описанная около треугольника ACD, пересекает гипотенузу AB в точке E.
а) Докажите, что AE = AD.
б) Найдите DE, если AC = 6, BC = 8.
В трапеции ABCD (BC ∥ AD) диагонали пересекаются в точке O. Окружность, описанная около треугольника BOC, пересекает стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
а) Докажите, что EF ∥ AD.
б) Найдите EF, если BC = 4 и AD = 16.
В ромбе ABCD проведена диагональ AC. На стороне AD отмечена точка E такая, что AE = AC.
а) Докажите, что CE — биссектриса угла ACD.
б) Найдите площадь ромба, если CE = 8 и ∠ABC = 120°.
Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках E и D соответственно.
а) Докажите, что треугольники ABC и DCE подобны.
б) Найдите DE, если AB = 15, AC = 12, BC = 10 и CD = 6.
В треугольнике ABC угол B равен 60°, AB = 4, BC = 6. Точка D лежит на стороне AC, причём BD — биссектриса угла B.
а) Докажите, что AD · BC = AB · DC.
б) Найдите площадь треугольника ABD.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) на боковой стороне AB отмечена точка E так, что AE = BC. Отрезки CE и BD пересекаются в точке O.
а) Докажите, что OE · OD = OB · OC.
б) Найдите отношение площадей треугольников BOC и EOD, если AD = 3BC.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Прямая CE пересекает прямую AD в точке F.
а) Докажите, что AF = AD.
б) Найдите отношение площади треугольника CEF к площади четырёхугольника BCDA, если BC : AB = 2 : 3.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. На стороне AB отмечена точка M такая, что CM — медиана.
а) Докажите, что треугольники AHK и ABC подобны.
б) Найдите HK, если AB = 10, ∠ACB = 60°.
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D так, что AD — биссектриса. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается стороны AD в точке M, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается стороны AD в точке N.
а) Докажите, что MN = |AB − AC|/2.
б) Найдите MN, если BC = 14, AB = 13, AC = 15.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b + c < 2a.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 6, a = 10.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите cos∠LKN, если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP · BE = √2, то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP = 12 и PK = 5.
В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и AD, вторая — сторон BC, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1 : 9.
а) Докажите, что r = 0,3 · CD.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB = 20.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку M такую, что BM : MC = 2 : 3, DB = DM.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,8.
б) На луче BH, где BH — высота треугольника BDM, отметили такую точку P, что около четырёхугольника ABPD можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = √10.
Точка M — середина стороны BC ромба ABCD, DB = DM.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,75.
б) На луче BH, где BH — высота треугольника BDM, отметили такую точку P, что в четырёхугольник ABPD можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 4.
В прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием CD и прямыми углами A и D вписана окружность с центром в точке O радиуса R. Точка G — точка касания данной окружности и стороны AB трапеции ABCD. Биссектриса угла ABC перпендикулярна стороне BC и пересекает её в точке N.
а) Докажите, что BG = (√2 − 1)R.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BNOG, если R = 6.