Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если и .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
Основание трапеции в два раза меньше основания . Внутри трапеции взята точка так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до основания равно .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .