В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;
— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
— к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В 2029–2031 годах каждый платёж равен процентам тыс. рублей. Пусть общий платёж в каждом из 2032–2034 годов равен . Для погашения оставшихся 1324 тыс. рублей за три равных платежа при росте долга в раза ежегодно нужно тыс. рублей. Всего тыс. рублей, то есть 1 994 400 рублей.
В 2029–2031 годах каждый платёж равен процентам тыс. рублей. Пусть общий платёж в каждом из 2032–2034 годов равен . Для погашения оставшихся 1324 тыс. рублей за три равных платежа при росте долга в раза ежегодно нужно тыс. рублей. Всего тыс. рублей, то есть 1 994 400 рублей.
В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;
— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
— к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В 2030 и 2031 годах выплачиваются только проценты: каждый раз тыс. рублей. Пусть одинаковый платёж 2032–2034 годов равен тыс. рублей. Если после 2032 года остаток , после 2033 года , то , , . Отсюда тыс. рублей. Общая сумма выплат тыс. рублей.
В 2030 и 2031 годах выплачиваются только проценты: каждый раз тыс. рублей. Пусть одинаковый платёж 2032–2034 годов равен тыс. рублей. Если после 2032 года остаток , после 2033 года , то , , . Отсюда тыс. рублей. Общая сумма выплат тыс. рублей.
В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;
— в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.
Найдите , если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.
Считаем суммы в тысячах рублей. Пусть — остаток долга перед четвёртым начислением процентов, . Последний платёж даёт . В первые три года основной долг уменьшался на одинаковую величину, поэтому сумма остатков перед четырьмя начислениями равна . Всего процентов уплачено , то есть . Из этого ; совместно с первым уравнением положительное решение . Значит .
Считаем суммы в тысячах рублей. Пусть — остаток долга перед четвёртым начислением процентов, . Последний платёж даёт . В первые три года основной долг уменьшался на одинаковую величину, поэтому сумма остатков перед четырьмя начислениями равна . Всего процентов уплачено , то есть . Из этого ; совместно с первым уравнением положительное решение . Значит .
В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.
Найдите , если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.
Работаем в тысячах рублей. Пусть ежегодное уменьшение основного долга в первые три года равно , а остаток перед последним начислением процентов — . Положим процентную ставку долей . Последний платёж даёт . Общая сумма процентов равна . Она начислялась на остатки, сумма которых . Поэтому . Из двух уравнений получаем и . Положительный корень , следовательно .
Работаем в тысячах рублей. Пусть ежегодное уменьшение основного долга в первые три года равно , а остаток перед последним начислением процентов — . Положим процентную ставку долей . Последний платёж даёт . Общая сумма процентов равна . Она начислялась на остатки, сумма которых . Поэтому . Из двух уравнений получаем и . Положительный корень , следовательно .
Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| Вариант 1 | — Каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
|---|---|
| Вариант 2 | — 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2029 года, долг возрастает на 6 % по сравнению с концом предыдущего квартала; — во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; — на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; — к 1 июня 2031 года кредит должен быть полностью погашен. |
По варианту 1 равные платежи P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и всего выплачивается 11,52 млн рублей.
По варианту 2 долг уменьшается за квартал на млн рублей. Сумма остатков перед начислением процентов равна млн. Проценты составляют млн, всего — 11,176 млн. Второй вариант дешевле на млн, то есть 344 000 рублей.
По варианту 1 равные платежи P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и всего выплачивается 11,52 млн рублей.
По варианту 2 долг уменьшается за квартал на млн рублей. Сумма остатков перед начислением процентов равна млн. Проценты составляют млн, всего — 11,176 млн. Второй вариант дешевле на млн, то есть 344 000 рублей.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| Вариант 1 | — Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
|---|---|
| Вариант 2 | — 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; — во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; — на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; — к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен. |
По варианту 1 два равных платежа P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и общая выплата млн рублей.
По варианту 2 основной долг уменьшается на млн за квартал. Проценты начисляются на остатки млн, сумма которых млн. Все проценты составят млн, общая выплата — млн. Вариант 2 выгоднее на млн, или 146 000 рублей.
По варианту 1 два равных платежа P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и общая выплата млн рублей.
По варианту 2 основной долг уменьшается на млн за квартал. Проценты начисляются на остатки млн, сумма которых млн. Все проценты составят млн, общая выплата — млн. Вариант 2 выгоднее на млн, или 146 000 рублей.
В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22 % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;
— к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?
Основной долг каждый год уменьшается на рублей. Перед начислением процентов в январе 2033 года долг составляет рублей. Выплата 2033 года: рублей. Последняя выплата: рублей. Разность рублей.
Основной долг каждый год уменьшается на рублей. Перед начислением процентов в январе 2033 года долг составляет рублей. Выплата 2033 года: рублей. Последняя выплата: рублей. Разность рублей.
В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17 % по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;
— к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?
Ежегодная равная часть основного долга равна рублей. В 2030 году перед начислением процентов остаётся рублей, поэтому платёж . Перед последним начислением в 2035 году остаётся рублей; платёж . Разность рублей.
Ежегодная равная часть основного долга равна рублей. В 2030 году перед начислением процентов остаётся рублей, поэтому платёж . Перед последним начислением в 2035 году остаётся рублей; платёж . Разность рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Пусть исходный долг , платёж , коэффициент начисления . Приведённая стоимость четырёх равных платежей: . При сумма в скобках равна , поэтому рублей.
Пусть исходный долг , платёж , коэффициент начисления . Приведённая стоимость четырёх равных платежей: . При сумма в скобках равна , поэтому рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Пусть сумма кредита равна , коэффициент ежегодного увеличения долга , а платёж рублей. После четырёх начислений и четырёх платежей долг равен нулю:
.
Следовательно, рублей.
Пусть сумма кредита равна , коэффициент ежегодного увеличения долга , а платёж рублей. После четырёх начислений и четырёх платежей долг равен нулю:
.
Следовательно, рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2027 по 2030 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2031 по 2034 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составит 1444 тысячи рублей.
Сумма долгов перед процентами в первые четыре года 800+700+600+500=2600, в последние четыре 400+300+200+100=1000. Поэтому , откуда r=19.
Сумма долгов перед процентами в первые четыре года 800+700+600+500=2600, в последние четыре 400+300+200+100=1000. Поэтому , откуда r=19.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
Долги перед процентами: 300,250,200,150,100,50 тыс. Общая выплата . Отсюда 3r=48, r=16.
Долги перед процентами: 300,250,200,150,100,50 тыс. Общая выплата . Отсюда 3r=48, r=16.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленных за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
даёт r>2,416… . Наименьшее натуральное r=3.
даёт r>2,416… . Наименьшее натуральное r=3.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленных за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Требуется , откуда r<37,755… . Наибольшее натуральное r=37.
Требуется , откуда r<37,755… . Наибольшее натуральное r=37.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую он планирует взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тыс. рублей.
Долги перед процентами равны . Общие проценты . Поэтому , S=750 тыс. рублей.
Долги перед процентами равны . Общие проценты . Поэтому , S=750 тыс. рублей.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
До начисления процентов долги равны . Проценты составляют . Общая выплата , откуда S=600 тыс. рублей.
До начисления процентов долги равны . Проценты составляют . Общая выплата , откуда S=600 тыс. рублей.
В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разной для разных годов);
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором — 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.
Для множителей общая выплата равна . Коэффициенты банков и . Первый выгоднее; экономия млн. Неравенство допускает единственное целое S=4.
Для множителей общая выплата равна . Коэффициенты банков и . Первый выгоднее; экономия млн. Неравенство допускает единственное целое S=4.
В июле Егор планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Егору оформить кредит на следующих условиях:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разной для разных годов);
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
В первом банке процентная ставка по годам составляет 15, 20 и 10 процентов соответственно, а во втором — 20, 10 и 15 процентов. Егор выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 13 до 14 тысяч рублей.
При годовых множителях равный платёж . Общие выплаты двух банков равны и . Выгоднее первый, экономия млн. Условие допускает единственное целое S=7.
При годовых множителях равный платёж . Общие выплаты двух банков равны и . Выгоднее первый, экономия млн. Условие допускает единственное целое S=7.
15 июня 2025 года бизнесмен Данила Сергеевич планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит 20 млн рублей.
Для кредита S последние равные платежи . Полная сумма выплат . Из следует . Наибольшее целое S равно 13.
Для кредита S последние равные платежи . Полная сумма выплат . Из следует . Наибольшее целое S равно 13.
15 июня 2025 года бизнесмен Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.
Пусть кредит S млн рублей, последние платежи P. Тогда , откуда . Общая выплата . Условие даёт ; наименьшее целое S равно 8.
Пусть кредит S млн рублей, последние платежи P. Тогда , откуда . Общая выплата . Условие даёт ; наименьшее целое S равно 8.
В июне 2025 года бизнесмен Олег Вадимович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия возврата:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга; каждый платёж 2027 и 2028 годов в 1,6 раза больше платежа предыдущего года;
— с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма, равная 1770240 рублей.
Найдите сумму кредита, если общие выплаты составили 8994240 рублей.
Первые платежи . Их сумма 7224000, поэтому . Сумма кредита рублей.
Первые платежи . Их сумма 7224000, поэтому . Сумма кредита рублей.
В июне 2025 года бизнесмен Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия возврата:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга; каждый платёж 2027 и 2028 годов в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;
— с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма, равная 3304840 рублей.
Найдите сумму кредита, если общие выплаты составили 10904840 рублей.
Первые три платежа . Их сумма 7600000, поэтому . Сумма кредита равна сумме дисконтированных платежей: .
Первые три платежа . Их сумма 7600000, поэтому . Сумма кредита равна сумме дисконтированных платежей: .
В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил два варианта кредитования.
1-й вариант: кредит на 3 года; в январе каждого года долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года; с февраля по июнь каждого года выплачиваются равные суммы, последний платёж полностью погашает долг.
2-й вариант: кредит на 2 года; в январе каждого года долг увеличивается на 16%; с февраля по июнь каждого года выплачиваются равные суммы, последний платёж полностью погашает долг.
По 1-му варианту Борису придётся выплачивать на 353740 рублей меньше, чем по 2-му. Какую сумму Борис планирует взять в кредит?
Для суммы S равный платёж первого варианта , второго . Уравнение даёт рублей.
Для суммы S равный платёж первого варианта , второго . Уравнение даёт рублей.
В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил два варианта кредитования.
1-й вариант: кредит на 3 года; в январе каждого года долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года; с февраля по июнь каждого года выплачиваются равные суммы, последний платёж полностью погашает долг.
2-й вариант: кредит на 2 года; в январе каждого года долг увеличивается на 24%; с февраля по июнь каждого года выплачиваются равные суммы, последний платёж полностью погашает долг.
По 1-му варианту Максиму придётся выплачивать на 373600 рублей больше, чем по 2-му. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?
Для суммы S платёж первого варианта , второго . Разность . Поэтому рублей.
Для суммы S платёж первого варианта , второго . Разность . Поэтому рублей.
В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 600 тыс. рублей. Условия возврата:
— каждый январь действия кредита долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в 2028 и 2029 годах платежи по кредиту равны;
— в 2030 году выплачивается остаток по кредиту.
Найдите платёж 2029 года, если общие выплаты по кредиту составили 733,5 тыс. рублей.
Пусть равные платежи X тыс. Последний платёж равен . Общая сумма , откуда тыс. рублей.
Пусть равные платежи X тыс. Последний платёж равен . Общая сумма , откуда тыс. рублей.
В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей. Условия возврата:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;
— к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.
Платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?
Пусть первые два платежа равны X тыс. Тогда . Получаем , тыс. рублей.
Пусть первые два платежа равны X тыс. Тогда . Получаем , тыс. рублей.
В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия возврата:
— в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r − 3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на сентябрь предыдущего года;
— к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Общая сумма выплат должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?
Годовое уменьшение долга 0,75 млн. Суммы остатков для первых и последних трёх лет 11,25 и 4,5 млн. , откуда . Перед выплатой 2032 года основной долг 1,5 млн, ставка 15%. Платёж млн рублей.
Годовое уменьшение долга 0,75 млн. Суммы остатков для первых и последних трёх лет 11,25 и 4,5 млн. , откуда . Перед выплатой 2032 года основной долг 1,5 млн, ставка 15%. Платёж млн рублей.
В сентябре 2027 года Михаил планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия возврата:
— в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r + 3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на сентябрь предыдущего года;
— к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат должна составить 2175 тыс. рублей.
Долг ежегодно уменьшается на 250 тыс. Суммы остатков перед начислением процентов равны 3750 тыс. в первые три года и 1500 тыс. в последние три. , откуда .
Долг ежегодно уменьшается на 250 тыс. Суммы остатков перед начислением процентов равны 3750 тыс. в первые три года и 1500 тыс. в последние три. , откуда .
В июне 2028 года Егор планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 5 млн рублей. Условия возврата:
— в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Егору предложили кредит в банке G на таких же условиях, но в первые два года долг увеличивается на r%, а в последующие два — на 14%. Найдите r, если общая сумма выплат в банке G меньше суммы выплат в банке N на 175 тыс. рублей.
Годовое уменьшение основного долга 1,25 млн. Суммы остатков в первые и последние два года равны 8,75 и 3,75 млн. Поэтому , откуда .
Годовое уменьшение основного долга 1,25 млн. Суммы остатков в первые и последние два года равны 8,75 и 3,75 млн. Поэтому , откуда .
В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия возврата:
— в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18% от суммы долга на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Ольге предложили кредит в банке G на таких же условиях, но в первые два года долг увеличивается на 18%, а в последующие два — на r%. Найдите r, если общая сумма выплат в банке G больше суммы выплат в банке N на 162 тыс. рублей.
Долг уменьшается ежегодно на 0,9 млн. Суммы остатков перед начислением процентов: в первые два года 6,3 млн, в последние два — 2,7 млн. Разность выплат равна млн. Отсюда .
Долг уменьшается ежегодно на 0,9 млн. Суммы остатков перед начислением процентов: в первые два года 6,3 млн, в последние два — 2,7 млн. Разность выплат равна млн. Отсюда .
В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
Пусть кредит P млн рублей. Каждый август долг уменьшается на . Сумма долгов перед первыми четырьмя начислениями равна , перед последними четырьмя — . Переплата равна . По условию это 1,69 млн, откуда млн рублей.
Пусть кредит P млн рублей. Каждый август долг уменьшается на . Сумма долгов перед первыми четырьмя начислениями равна , перед последними четырьмя — . Переплата равна . По условию это 1,69 млн, откуда млн рублей.
В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
Пусть сумма кредита P млн рублей. Каждый август основной долг уменьшается на . Сумма долгов перед начислением 10 % в первые четыре года равна ; за последние четыре года — . Переплата . Она равна 1,7 млн, поэтому млн рублей.
Пусть сумма кредита P млн рублей. Каждый август основной долг уменьшается на . Сумма долгов перед начислением 10 % в первые четыре года равна ; за последние четыре года — . Переплата . Она равна 1,7 млн, поэтому млн рублей.
В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
— в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028–2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;
— в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
— к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составлять 4168 тыс. рублей.
Все суммы далее в тысячах рублей. Пусть Q — ежегодное уменьшение в первые пять лет, — остаток после 2032 года, P — общая выплата каждого из двух последних лет. Из равенства выплат , где , находим . Сумма выплат равна основному долгу плюс 15 % от суммы долгов перед начислениями: . Решение этого линейного уравнения даёт тыс. рублей, то есть 340 000 рублей.
Все суммы далее в тысячах рублей. Пусть Q — ежегодное уменьшение в первые пять лет, — остаток после 2032 года, P — общая выплата каждого из двух последних лет. Из равенства выплат , где , находим . Сумма выплат равна основному долгу плюс 15 % от суммы долгов перед начислениями: . Решение этого линейного уравнения даёт тыс. рублей, то есть 340 000 рублей.
В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
— в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028–2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
— в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
— к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?
В тысячах рублей пусть ежегодное уменьшение основного долга в 2028–2032 годах равно , а остаток после 2032 года . Равные выплаты в 2033 и 2034 годах дают . Сумма процентов равна 10 % суммы семи долгов до начисления: . Подстановка даёт . Перед выплатой 2031 года долг был , после неё должен стать . Выплата тыс. рублей, то есть 897 000 рублей.
В тысячах рублей пусть ежегодное уменьшение основного долга в 2028–2032 годах равно , а остаток после 2032 года . Равные выплаты в 2033 и 2034 годах дают . Сумма процентов равна 10 % суммы семи долгов до начисления: . Подстановка даёт . Перед выплатой 2031 года долг был , после неё должен стать . Выплата тыс. рублей, то есть 897 000 рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
Работаем в тысячах рублей. Пусть долг в первые пять лет уменьшается ежегодно на , в следующие пять — на . Погашение даёт или . Общая сумма процентов равна 20 % суммы остатков долга перед начислениями. Эти остатки составляют арифметические прогрессии, их сумма . Поэтому и . Первый платёж: тыс. рублей, то есть 380 000 рублей.
Работаем в тысячах рублей. Пусть долг в первые пять лет уменьшается ежегодно на , в следующие пять — на . Погашение даёт или . Общая сумма процентов равна 20 % суммы остатков долга перед начислениями. Эти остатки составляют арифметические прогрессии, их сумма . Поэтому и . Первый платёж: тыс. рублей, то есть 380 000 рублей.
В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Пусть долг в июле 2032 года равен тыс. рублей. Долги в июле за десять лет образуют последовательность:
.
После январского увеличения на 15 % и вычитания соседних долгов сумма платежей равна . По условию , поэтому .
Платёж 2029 года равен тыс. рублей, то есть 429000 рублей.
Пусть долг в июле 2032 года равен тыс. рублей. Долги в июле за десять лет образуют последовательность:
.
После январского увеличения на 15 % и вычитания соседних долгов сумма платежей равна . По условию , поэтому .
Платёж 2029 года равен тыс. рублей, то есть 429000 рублей.