В лаборатории используют собирающую линзу с фокусным расстоянием см для получения увеличенного изображения лампочки. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться от 95 до 115 см, расстояние от линзы до экрана — от 140 до 160 см. Изображение чёткое, если . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы изображение было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
Выразим . Эта функция убывает при . Минимум при максимальном допустимом , откуда см. Значение лежит в допустимом интервале 95–115 см.
Выразим . Эта функция убывает при . Минимум при максимальном допустимом , откуда см. Значение лежит в допустимом интервале 95–115 см.
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. Объём и давление связаны соотношением , где — давления газа (в атмосферах), — объёмы газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, давление — 1 атмосфера. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
л.
л.
Мяч бросили под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча определяется по формуле . При каком значении угла (в градусах) время полёта составит 1,4 секунды, если начальная скорость м/с? Считайте м/с².
, значит, . Для острого угла . В PDF у начальной скорости ошибочно указаны м/с²; для скорости использована единица м/с.
, значит, . Для острого угла . В PDF у начальной скорости ошибочно указаны м/с²; для скорости использована единица м/с.
Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика (в м) вычисляется по формуле , где м/с — начальная скорость мячика, м/с². При каком наименьшем значении угла мячик пролетит над стеной высотой 4,4 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.
Требуется . Тогда , то есть . Для острого угла минимум достигается при , .
Требуется . Тогда , то есть . Для острого угла минимум достигается при , .
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением км/ч². Скорость (в км/ч) вычисляется по формуле , где — пройденный путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.
км.
км.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением (в км/ч²). Скорость (в км/ч) вычисляется по формуле , где — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
, поэтому км/ч².
, поэтому км/ч².
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле , где — частота вынуждающей силы (в ), — постоянный параметр, — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на 80%. Ответ дайте в .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле , где — частота вынуждающей силы (в ), — постоянный параметр, — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на 12,5%. Ответ дайте в .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
При знаменатель положителен. Условие даёт , то есть .
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, до видимой им линии горизонта (в километрах) вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 24 км?
Нужная разность высот равна м.
Нужная разность высот равна м.
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, до видимой им линии горизонта (в километрах) вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 км?
Из формулы . Исходная высота равна 45 м, нужная — 80 м. Требуется подняться на 35 м. Высота ступеньки 0,2 м, поэтому минимальное количество ступенек равно .
Из формулы . Исходная высота равна 45 м, нужная — 80 м. Требуется подняться на 35 м. Высота ступеньки 0,2 м, поэтому минимальное количество ступенек равно .
Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону , где t — время с момента начала колебаний, с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
, v=2. Энергия Дж.
, v=2. Энергия Дж.
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону , где t — время с момента начала колебаний, с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
, поэтому v=1,6. Энергия Дж.
, поэтому v=1,6. Энергия Дж.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры °C до температуры T, причём , где Вт·с/(кг·°C) — теплоёмкость воды, Вт/(м·°C) — коэффициент теплообмена, а — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Множитель перед логарифмом 130/3. Получаем , откуда T=15+8=23.
Множитель перед логарифмом 130/3. Получаем , откуда T=15+8=23.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры °C до температуры T, причём , где Вт·с/(кг·°C) — теплоёмкость воды, Вт/(м·°C) — коэффициент теплообмена, а — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 100 м.
Множитель перед логарифмом равен 50. Поэтому , , T=33.
Множитель перед логарифмом равен 50. Поэтому , , T=33.
При температуре 0 °C рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
, откуда t=40.
, откуда t=40.
При температуре 0 °C рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
, откуда t=50.
, откуда t=50.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле , где м/с — скорость звука в воде, — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
.
.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 744 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле , где м/с — скорость звука в воде, — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
.
.
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
, откуда . Продолжительность равна 1,8 с.
, откуда . Продолжительность равна 1,8 с.
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 7 метров?
, корни 0,8 и 1,4. Продолжительность равна с.
, корни 0,8 и 1,4. Продолжительность равна с.
Мяч бросили под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком значении угла (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью м/с? Считайте, что ускорение свободного падения м/с².
, поэтому , острый угол .
, поэтому , острый угол .
Двигаясь со скоростью м/с, трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Мощность трактора вычисляется по формуле . Найдите, при каком угле (в градусах) эта мощность будет равна 180 кВт.
, поэтому . Острый угол .
, поэтому . Острый угол .
Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта в километрах вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 60 километров? Ответ дайте в метрах.
.
.
Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта в километрах вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 25,6 километра? Ответ дайте в метрах.
.
.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Па·м⁴, где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, . Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении, равном Па.
, откуда .
, откуда .
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Па·м⁴, где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, . Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении, равном Па.
. Поэтому .
. Поэтому .
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда В, частота , фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в датчике не ниже 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
В первую секунду фаза меняется от до . Лампочка горит при . На этом интервале условие выполняется до , то есть при . Доля времени .
В первую секунду фаза меняется от до . Лампочка горит при . На этом интервале условие выполняется до , то есть при . Доля времени .
Датчик сконструирован так, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда В, частота , фаза . Если напряжение в датчике не ниже 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Условие . На оно равносильно . Лампочка горит 87,5% первой секунды.
Условие . На оно равносильно . Лампочка горит 87,5% первой секунды.
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана: , где P — мощность излучения звезды в ваттах, Вт/(м²·К⁴) — постоянная, S — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, T — температура в кельвинах. Площадь поверхности звезды равна м², мощность излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
, поэтому .
, поэтому .
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана: , где P — мощность излучения звезды в ваттах, Вт/(м²·К⁴) — постоянная, S — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, T — температура в кельвинах. Площадь поверхности звезды равна м², мощность излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
, откуда .
, откуда .
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где — начальный уровень воды, и — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Момент опустошения удовлетворяет . Умножив на 196, получаем , значит, минуты.
Момент опустошения удовлетворяет . Умножив на 196, получаем , значит, минуты.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где t — время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1900 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Отключить надо до первого достижения 1900 К. Решаем , или . Корни 2 и 10; впервые опасная температура достигается через 2 минуты.
Отключить надо до первого достижения 1900 К. Решаем , или . Корни 2 и 10; впервые опасная температура достигается через 2 минуты.
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора . Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением . Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе . После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения (кВ) за время, определяемое выражением (с), где — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 16,8 с. Ответ дайте в киловольтах.
. Тогда , поэтому и кВ.
. Тогда , поэтому и кВ.
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора . Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением . Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе . После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения (кВ) за время, определяемое выражением (с), где — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.
Подстановка констант даёт с. Поэтому , и кВ.
Подстановка констант даёт с. Поэтому , и кВ.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Так как бак цилиндрический, четверти объёма отвечает высота м. Подставляя параметры, получаем или . Корни 200 и 600 секунд. Уровень воды убывает до опустошения бака при с, поэтому физически допустимое время — 200 с.
Так как бак цилиндрический, четверти объёма отвечает высота м. Подставляя параметры, получаем или . Корни 200 и 600 секунд. Уровень воды убывает до опустошения бака при с, поэтому физически допустимое время — 200 с.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Четверть первоначального объёма цилиндрического бака соответствует высоте м. Подставляем , , в данную формулу и решаем уравнение . Получаем допустимое время секунд.
Четверть первоначального объёма цилиндрического бака соответствует высоте м. Подставляем , , в данную формулу и решаем уравнение . Получаем допустимое время секунд.