На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен .
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Касательная проходит через отмеченные точки и . Её угловой коэффициент равен . Это и есть .
Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Уравнение пересечения имеет вид . Для касания необходим двукратный корень, то есть . Отсюда . При график — прямая с другим наклоном, и касания нет.
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
Разность ординат графика и прямой равна . В точке касания корень кратный, поэтому . Проверка: , и обе ординаты равны 1.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
Производная положительна на , и . Длины равны 3,4,1. Наибольшая длина 4.
На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. 
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Производная отрицательна на , , . Их длины 1,2,1; наибольшая равна 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
, поэтому .
, поэтому .
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
Наиболее круто график возрастает в точке x=4; наклон касательной там больше, чем в остальных отмеченных точках.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.
В точке −1 график убывает, поэтому производная отрицательна; в остальных отмеченных точках она неотрицательна. Минимум — при x=−1.