В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
Объём параллелепипеда равен 60. Найдите объём треугольной пирамиды .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
, значит, .
, значит, .
В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро, деля его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части. 
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды. 
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. 
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите площадь его поверхности. 
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Куб описан около сферы радиуса 12,5. Найдите объём куба. 
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9. 
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6. 
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы. 
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. 
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
.
.
Длина окружности основания цилиндра равна 5, высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 18,5. Объём параллелепипеда равен 5476. Найдите высоту цилиндра. 
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объём параллелепипеда. 
Размеры параллелепипеда , объём .
Размеры параллелепипеда , объём .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса. 
. Образующая конуса , поэтому .
. Образующая конуса , поэтому .
Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью. 
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. 
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 14. Найдите объём шестиугольной пирамиды. 
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды. 
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара. 
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см. 
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см. 
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.