Тип 15. Неравенства

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .

ОДЗ: . После перехода к основанию 5 и объединения логарифмов получаем . При x<−2 левая часть больше правой: . Значит подходит вся ОДЗ.

ОДЗ: . Перейдя к основанию 2 и сократив , получаем . На ОДЗ , поэтому неравенство выполнено для всех .

ОДЗ: . Знаменатель всегда отрицателен. При x=2 числитель равен нулю; при x>2 требуется , то есть .

ОДЗ: , . Множитель всегда отрицателен. При числитель равен нулю; при требуется положительный знаменатель, то есть .

ОДЗ: , знаменатель не равен нулю. Его нули: или 4, то есть и . Числитель неотрицателен при . С учётом порядка точек метод интервалов даёт ответ.

ОДЗ: , . Числитель обращается в ноль при или 3, то есть и . Он отрицателен между этими корнями. Знаменатель меняет знак при , причём . Метод интервалов даёт ответ.

Угол 0,9 задан в радианах, . Поэтому . При основании это равносильно , то есть .

Аргумент 3,2 дан в радианах; . Поэтому , то есть . Получаем .

Положим , . Тогда . Получаем или .

При , получаем . Метод интервалов даёт или . Возвращаемся к x.

После логарифмирования по основанию 4 и замены имеем . Значит, .

Положим и прологарифмируем по основанию 6: . Тогда , что даёт указанный отрезок для x.

ОДЗ: , . При знаменатель равен и равен нулю при . Числитель неотрицателен при , то есть . Исключаем и 0.

ОДЗ: , . Если , знаменатель равен ; он обращается в ноль при . В остальных точках знаменатель положителен. Числитель неотрицателен при , то есть . С учётом ОДЗ получаем указанные интервалы.

ОДЗ: . Пусть . Тогда и . Получаем или . Значит, либо . То есть или ; раскрываем модуль.

ОДЗ: . Положим . Тогда , . Неравенство становится , или . Его корни −1 и 3,5. Следовательно, , что даёт два указанных отрезка.

ОДЗ: . Положим . Тогда требуется . Знаки меняются при . Для условие выполнено. На получаем , то есть , откуда . На и условие сводится к , то есть . Это даёт соответственно и . Объединяем интервалы.

ОДЗ: . Первое логарифмическое слагаемое равно . При его модуль больше 3, поэтому решений нет. При первая скобка неположительна, вторая неотрицательна; неравенство сводится к и верно на всём этом отрезке. При обе скобки неотрицательны, и условие равносильно . Его положительная граница . Ответ .

ОДЗ: . Переносим слагаемые и выносим общие множители: . Поскольку , получаем . При обе части равны; отношение правой части к левой пропорционально и строго возрастает. Значит и .

Перенесём слагаемые и вынесем общие множители:

.

Так как , положительный множитель сокращается. Получаем .

Основание больше единицы, поэтому . С учётом имеем .

ОДЗ: . Поскольку , выражение в скобках равно . Многочлен раскладывается как . На ОДЗ логарифмический множитель неотрицателен при ; многочлен неотрицателен при . Совмещая знаки, получаем .

ОДЗ: . Так как , положим . Тогда левая часть равна . При имеем , и нужно — это . При оба множителя отрицательны, поэтому решений нет. Ответ .

Положим ; значения исключены из ОДЗ. После переноса правой части влево неравенство принимает вид . Числитель неотрицателен; дробь неположительна при и при . Поэтому .

Положим ; ОДЗ исключает . Так как и , перенос правой части и приведение к общему знаменателю дают . Отсюда либо либо . Возвращаясь к x, получаем .

ОДЗ: . Прологарифмируем неравенство по основанию 2: . После приведения к общему знаменателю получаем . Метод интервалов даёт .

ОДЗ: . Прологарифмируем по основанию 2: . После переноса и разложения получаем . Критические точки: . Метод интервалов даёт .

ОДЗ: . После группировки неравенство принимает вид . Средний множитель отрицателен. Первый положителен при и отрицателен при ; логарифм имеет противоположный знак. Следовательно, неравенство выполнено при любом кроме .

ОДЗ: . Переносим всё влево и группируем: . Второй множитель имеет знак (его коэффициент положителен). Первый равен и имеет знак . Эти знаки одинаковы для всех . Произведение не больше нуля только при .

ОДЗ: . Положим . После деления неравенства на получаем . Корни трёхчлена и . Поэтому или . Возвращаясь к x и учитывая знак при умножении на x, получаем .

Положим ; , . После деления исходного неравенства на положительное выражение получаем .

Умножим на : . Корни равны и , поэтому .

Так как основание , получаем . Решение с учётом : .