Тип 15. Неравенства

При разделим на положительное и положим . Получаем , то есть . Значит, или . Поскольку и , получаем или . Это равносильно или .

При разделим на положительное и положим . Получим , то есть . Следовательно, . Поскольку основание , имеем . Для это даёт , а для — .

При положим . Тогда , . Неравенство превращается в , или . Поэтому , то есть .

Область определения: . Введём . Тогда и . Получаем , или . Следовательно, или . Это означает или .

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .