На числовой прямой даны отрезки B = [4; 18] и C = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину отрезка A, для которого выражение ¬(((x ∈ B) ∨ (x ∈ C)) → (x ∈ A)) ложно при любом x.
Из условия включения отрезков получаем длину 36.
Из условия включения отрезков получаем длину 36.
На числовой прямой даны отрезки B = [14; 30] и C = [15; 27]. Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого выражение ¬((x ∈ A) → ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C))) ложно при любом x.
Из условия включения отрезков получаем длину 12.
Из условия включения отрезков получаем длину 12.
На числовой прямой даны отрезки B = [30; 41] и C = [50; 56]. Укажите наименьшую возможную длину отрезка A, для которого выражение ¬(((x ∈ B) ∨ (x ∈ C)) → (x ∈ A)) ложно при любом x.
Из условия включения отрезков получаем длину 26.
Из условия включения отрезков получаем длину 26.
На числовой прямой даны два отрезка: B = [10; 15] и C = [20; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение ¬((x ∈ B) ∨ (x ∈ C) → (x ∈ A)) ложно (то есть принимает значение 0) при любом значении переменной x.
Чтобы отрицание импликации всегда было ложным, сама импликация должна быть истинной для любого x. Значит, все точки из B ∪ C обязаны лежать в A. Минимальный отрезок A: [10; 27], его длина равна 17.
Чтобы отрицание импликации всегда было ложным, сама импликация должна быть истинной для любого x. Значит, все точки из B ∪ C обязаны лежать в A. Минимальный отрезок A: [10; 27], его длина равна 17.
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула (ДЕЛ(x, 20) → ¬ДЕЛ(x, 11)) ∨ (x + A ≥ 300) тождественно истинна при любом натуральном значении переменной x?
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 20 и 11, то есть кратных 220. Наименьшее такое число — 220, поэтому требуется 220 + A ≥ 300. Отсюда минимальное A = 80.
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 20 и 11, то есть кратных 220. Наименьшее такое число — 220, поэтому требуется 220 + A ≥ 300. Отсюда минимальное A = 80.
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула (ДЕЛ(x, 16) → ¬ДЕЛ(x, 7)) ∨ (x + A ≥ 800) тождественно истинна при любом натуральном значении переменной x?
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 16 и 7, то есть кратных 112. Наименьшее такое число — 112, значит нужно выполнение условия 112 + A ≥ 800. Следовательно, минимальное A = 688.
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 16 и 7, то есть кратных 112. Наименьшее такое число — 112, значит нужно выполнение условия 112 + A ≥ 800. Следовательно, минимальное A = 688.
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула (ДЕЛ(x, 20) → ¬ДЕЛ(x, 11)) ∨ (x + A ≥ 300) тождественно истинна при любом натуральном значении переменной x?
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 20 и 11, то есть кратных 220. Наименьшее такое число — 220, поэтому требуется 220 + A ≥ 300. Отсюда минимальное A = 80.
Импликация ложна только для чисел, кратных одновременно 20 и 11, то есть кратных 220. Наименьшее такое число — 220, поэтому требуется 220 + A ≥ 300. Отсюда минимальное A = 80.
Обозначим через ДЕЛ(n,m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего целого числа A формула (ДЕЛ(x,13) → ¬ДЕЛ(x,21)) ∨ (x + A ≥ 500) тождественно истинна при любом натуральном x?
Первая точка, где импликация ложна, — число 273, кратное 13 и 21. Нужно 273+A≥500, откуда A=227.
Первая точка, где импликация ложна, — число 273, кратное 13 и 21. Нужно 273+A≥500, откуда A=227.
Для какого наименьшего целого числа A формула (x ≥ 20) ∨ (y ≥ 40) ∨ (y ≤ x + A) ∨ (y ≥ 3x − A) тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Проверка области x<20, y<40 показывает, что минимальное значение, при котором между границами не остаётся целых точек, равно 19.
Проверка области x<20, y<40 показывает, что минимальное значение, при котором между границами не остаётся целых точек, равно 19.
Для какого наибольшего целого числа A формула (x < 4) ∨ (x ≥ 20) ∨ (y ≥ 3x + A) ∨ (y < 100) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Ложность возможна только при 4 ≤ x < 20, y ≥ 100 не подходит, значит надо рассмотреть y < 100 как ложное, то есть y ≥ 100? Наоборот, чтобы вся формула была ложной, нужно одновременно иметь 4 ≤ x < 20, y < 3x + A и y ≥ 100. Чтобы таких пар не существовало, достаточно требовать 100 ≥ 3x + A для всех x = 4, …, 19. Наибольшее подходящее значение получается при x = 19: A = −57.
Ложность возможна только при 4 ≤ x < 20, y ≥ 100 не подходит, значит надо рассмотреть y < 100 как ложное, то есть y ≥ 100? Наоборот, чтобы вся формула была ложной, нужно одновременно иметь 4 ≤ x < 20, y < 3x + A и y ≥ 100. Чтобы таких пар не существовало, достаточно требовать 100 ≥ 3x + A для всех x = 4, …, 19. Наибольшее подходящее значение получается при x = 19: A = −57.
Для какого наименьшего целого числа A формула (x2 + y2 > 128) ∨ (y < −x + A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Ложность возможна только при x2 + y2 ≤ 128 и y ≥ −x + A, то есть x + y ≥ A. Максимум суммы x + y на круге достигается при значении 16, поэтому минимальное подходящее A = 17.
Ложность возможна только при x2 + y2 ≤ 128 и y ≥ −x + A, то есть x + y ≥ A. Максимум суммы x + y на круге достигается при значении 16, поэтому минимальное подходящее A = 17.
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A формула (4x + y < A) ∨ (x < y) ∨ (22 ≤ x) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y?
Ложность возможна только при x < 22 и x ≥ y. Максимум выражения 4x + y в этих условиях достигается при x = 21, y = 21 и равен 105. Следовательно, минимальное подходящее A = 106.
Ложность возможна только при x < 22 и x ≥ y. Максимум выражения 4x + y в этих условиях достигается при x = 21, y = 21 и равен 105. Следовательно, минимальное подходящее A = 106.
Обозначим через ДЕЛ(x, y) утверждение «натуральное число x делится без остатка на натуральное число y». Пусть на числовой прямой дан отрезок B = [200; 250]. Для какого наибольшего натурального числа A логическое выражение ДЕЛ(x, A) ∨ ((x ∈ B) → ¬ДЕЛ(x, 55)) истинно при любом натуральном значении переменной x?
Ложность возможна только для чисел из отрезка B, кратных 55. В данном отрезке таким числом является только 220. Следовательно, наибольшее подходящее значение A = 220.
Ложность возможна только для чисел из отрезка B, кратных 55. В данном отрезке таким числом является только 220. Следовательно, наибольшее подходящее значение A = 220.
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A логическое выражение (300 ≠ 3x + y) ∨ (A > x) ∨ (A > y) истинно при любых целых неотрицательных числах x и y?
Нарушение возможно только при 3x + y = 300 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Максимальное значение min(x, y) достигается при x = 75, y = 75, значит минимальное подходящее A = 76.
Нарушение возможно только при 3x + y = 300 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Максимальное значение min(x, y) достигается при x = 75, y = 75, значит минимальное подходящее A = 76.
Обозначим через ДЕЛ(x, y) утверждение «натуральное число x делится без остатка на натуральное число y». Для какого наименьшего натурального числа A логическое выражение (ДЕЛ(x, 14) → ¬ДЕЛ(x, 4)) ∨ (x + A > 200) истинно при любом целом положительном значении переменной x?
Левая часть выражения ложна только для чисел, кратных 28. Наименьшее такое число — 28, поэтому нужно, чтобы 28 + A > 200. Минимальное значение A = 173.
Левая часть выражения ложна только для чисел, кратных 28. Наименьшее такое число — 28, поэтому нужно, чтобы 28 + A > 200. Минимальное значение A = 173.
A=[5;70]. B — все натуральные делители 221, отличные от 1 и 221. C — все натуральные делители некоторого y, отличные от 1 и y; C непусто.
Найдите наибольшее y, для которого (x ∈ C) → ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)) истинно при любом x.
B={13,17}. Максимальный допустимый простой собственный делитель — 67. Число 67² подходит, ответ 4489.
B={13,17}. Максимальный допустимый простой собственный делитель — 67. Число 67² подходит, ответ 4489.
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A логическое выражение (201 ≠ y + 2x) ∨ (A > x) ∨ (A > y) истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Нарушение возможно только при y + 2x = 201 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение, исключающее такие пары, равно 68.
Нарушение возможно только при y + 2x = 201 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение, исключающее такие пары, равно 68.
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A логическое выражение (105 ≠ y + 2x) ∨ (A > x) ∨ (A > y) истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Нужно исключить все пары, где y + 2x = 105 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение — 36.
Нужно исключить все пары, где y + 2x = 105 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение — 36.
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A логическое выражение (105 ≠ y + 2x) ∨ (A > x) ∨ (A > y) истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Нужно исключить все пары, где y + 2x = 105 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение — 36.
Нужно исключить все пары, где y + 2x = 105 и одновременно x ≥ A, y ≥ A. Минимальное значение — 36.
На числовой прямой дан отрезок A = [7;26]; B — множество всех натуральных делителей числа 77, отличных от 1 и самого числа 77; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от 1 и самого числа y, при этом C непусто. Укажите наименьшее возможное значение y, для которого выражение (x ∈ C) → ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)) истинно при любом значении переменной x.
Подходят числа, все нетривиальные делители которых лежат в [7;26] и не равны 7 или 11. Минимум даёт 13² = 169.
Подходят числа, все нетривиальные делители которых лежат в [7;26] и не равны 7 или 11. Минимум даёт 13² = 169.